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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Qui_parviendra_=c3=a0_=c3=a9valuer_cette_expression?=
Date: Sun, 26 Dec 2021 15:02:39 +0100
Organization: Aioe.org NNTP Server
Message-ID: <sq9slv$nm$1@gioia.aioe.org>
References: <zLKHT-25Ej2wZge1nWyOsgvyoz8@jntp>
 <sq8087$mjk$1@cabale.usenet-fr.net> <sq80v8$mmm$1@cabale.usenet-fr.net>
 <3InSC3EfojCRRvravoq4CVrxOVE@jntp> <sq8311$n31$1@cabale.usenet-fr.net>
 <dzJQlaMhgKoSYxWrGgTDICwDTwY@jntp> <sq8gra$1hj2$1@gioia.aioe.org>
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Le 26/12/2021 à 13:07, Julien Arlandis a écrit :
> On peut construire l'expression
> x = 18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/...)))
> Mais qui ne converge que vers 2.
> Pourquoi ?

Soit la suite:

	u(n+1) = 18/(11 - u(n))

Si elle converge vers une limite L, alors L vérifie par continuité que

	L = 18/(11 - L)

	L² -11L + 18 = 0

donc
	L=2 ou L=9
comme attendu.

Maintenant affichons la courbe de f(x)=18/(11 - x)

	https://tinyurl.com/2p986whx

On retrouve nos deux valeurs 2 et 9 recoupant la droite y=x.

Regardons le la dérivée de f en 2 et 9
	f'(x) = 18/(11-x)²

	f'(2) = 2/9 	< 1
	f'(9) = 18/4	> 1

Autrement dit au voisinage de 2, f(x) est contractante, et autour de 9 
elle est "repoussante" (je ne sais pas si ce terme existe, mais je veux 
dire le contraire de contractante. Peut-être faut-il parler de 
"décontractante".. je vais demander à Garcimore ce qu'il en pense).

Ceci signifie que le point fixe 2 est attracteur (on y converge à partir 
du moment où on entre dans le voisinage où elle est contractante), et 9 
un "répulseur". La valeur 9 est une valeur instable, on s'en écarte de 
plus en plus pour tomber vers l'attracteur 2.

Donc tout dépends de ton u(0) initial. Si tu le fixes à 9, tu va y 
rester tout le temps, autrement si tu es juste un peu écarté de 9, 
l'itéré va s'en éloigner et tomber dans le champ d'attraction de 2 et 
converger vers ce dernier.

Note: On peut même donner une vitesse de convergence vers le point fixe 
pour les applications contractantes. Plus d'infos: 
https://tinyurl.com/ysmvmdtf

sam.