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Subject: Re: Qui parviendra =?UTF-8?Q?=C3=A0=20=C3=A9valuer=20cette=20expression?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3545
Lines: 55

Le 26/12/2021 à 15:02, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 26/12/2021 à 13:07, Julien Arlandis a écrit :
>> On peut construire l'expression
>> x = 18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/...)))
>> Mais qui ne converge que vers 2.
>> Pourquoi ?
> 
> Soit la suite:
> 
> 	u(n+1) = 18/(11 - u(n))
> 
> Si elle converge vers une limite L, alors L vérifie par continuité que
> 
> 	L = 18/(11 - L)
> 
> 	L² -11L + 18 = 0
> 
> donc
> 	L=2 ou L=9
> comme attendu.
> 
> Maintenant affichons la courbe de f(x)=18/(11 - x)
> 
> 	https://tinyurl.com/2p986whx
> 
> On retrouve nos deux valeurs 2 et 9 recoupant la droite y=x.
> 
> Regardons le la dérivée de f en 2 et 9
> 	f'(x) = 18/(11-x)²
> 
> 	f'(2) = 2/9 	< 1
> 	f'(9) = 18/4	> 1
> 
> Autrement dit au voisinage de 2, f(x) est contractante, et autour de 9 
> elle est "repoussante" (je ne sais pas si ce terme existe, mais je veux 
> dire le contraire de contractante. Peut-être faut-il parler de 
> "décontractante".. je vais demander à Garcimore ce qu'il en pense).
> 
> Ceci signifie que le point fixe 2 est attracteur (on y converge à partir 
> du moment où on entre dans le voisinage où elle est contractante), et 9 
> un "répulseur". La valeur 9 est une valeur instable, on s'en écarte de 
> plus en plus pour tomber vers l'attracteur 2.
> 
> Donc tout dépends de ton u(0) initial. Si tu le fixes à 9, tu va y 
> rester tout le temps, autrement si tu es juste un peu écarté de 9, 
> l'itéré va s'en éloigner et tomber dans le champ d'attraction de 2 et 
> converger vers ce dernier.
> 
> Note: On peut même donner une vitesse de convergence vers le point fixe 
> pour les applications contractantes. Plus d'infos: 
> https://tinyurl.com/ysmvmdtf
> 
> sam.

Merci pour les explications, et si on avait eu deux valeurs contractantes 
?