Path: ...!weretis.net!feeder6.news.weretis.net!feeder8.news.weretis.net!usenet.pasdenom.info!from-devjntp Message-ID: JNTP-Route: news2.nemoweb.net JNTP-DataType: Article Subject: Re: Puissance complexe References: <61c30185$0$3693$426a74cc@news.free.fr> <61c45fbb$0$20255$426a74cc@news.free.fr> <43X2RriBlNTM8sfhy3miWETMoQQ@jntp> Newsgroups: fr.sci.maths JNTP-HashClient: j2S5EeN7jrr5Ds8WWd4PiY_K79o JNTP-ThreadID: 0n0919F69IreuR1l8nnlTNB_YYY JNTP-ReferenceUserID: 1@news2.nemoweb.net JNTP-Uri: http://news2.nemoweb.net/?DataID=rzU-fG8GjYJ-3dRAveaEnV8sFmY@jntp User-Agent: Nemo/0.999a JNTP-OriginServer: news2.nemoweb.net Date: Thu, 23 Dec 21 18:47:49 +0000 Organization: Nemoweb JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_15_7) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/96.0.4664.110 Safari/537.36 Injection-Info: news2.nemoweb.net; posting-host="c1851bd4b4f9399f317e25a013e00109bcf90c00"; logging-data="2021-12-23T18:47:49Z/6419632"; posting-account="1@news2.nemoweb.net"; mail-complaints-to="newsmaster@news2.nemoweb.net" JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1 JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96 From: Julien Arlandis Bytes: 5756 Lines: 71 Le 23/12/2021 à 13:55, Julien Arlandis a écrit : > Le 23/12/2021 à 12:38, Michel Talon a écrit : >> Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit: >>>> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été >>>> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à >>>> rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire >>>> le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) >>>> correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en >>>> fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de >>>> Riemann.... >>> >>> Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus >>> formellement ? >> >> C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la >> surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord >> voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres >> réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste >> bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une >> surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a >> 2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y >> >> Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs >> de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la >> projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe. >> On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est >> un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour >> chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes" >> au dessus d'un petit disque autour de x dans C. >> >> Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une >> valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de >> branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est >> pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième >> projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des >> coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se >> recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la >> surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à >> la surface. >> >> Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend >> le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y >> faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface >> de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en >> fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est >> trivialement la projection (x,y) -> y >> >> Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0 >> où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des >> fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc. > > Je comprends vaguement l'idée qui consiste à modifier le domaine de > l'application multivaluée par autant de feuillets que nécessaire. On se retrouve > bien avec des applications contenant une seule image au plus mais avec des > ensembles de départs différents selon les applications. Pour être pragmatique, > si je veux évaluer : > 1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la racine > cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ? Je me réponds à moi même. 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3) Dans cette application il faut distinguer 6 variétés : k = 6n + 0 => +2 k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2 k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2 k = 6n + 3 => 0 k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2 k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2 Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ?