Path: ...!weretis.net!feeder6.news.weretis.net!feeder8.news.weretis.net!usenet.pasdenom.info!from-devjntp Message-ID: JNTP-Route: news2.nemoweb.net JNTP-DataType: Article Subject: Re: Puissance complexe References: <61c30185$0$3693$426a74cc@news.free.fr> <61c45fbb$0$20255$426a74cc@news.free.fr> <43X2RriBlNTM8sfhy3miWETMoQQ@jntp> Newsgroups: fr.sci.maths JNTP-HashClient: Grp2coCmpBmsr4ot5kB8T88AifU JNTP-ThreadID: 0n0919F69IreuR1l8nnlTNB_YYY JNTP-Uri: http://news2.nemoweb.net/?DataID=ekbGD9EMF6_ZHN4k7tjC7CKoscQ@jntp User-Agent: Nemo/0.999a JNTP-OriginServer: news2.nemoweb.net Date: Fri, 24 Dec 21 00:27:43 +0000 Organization: Nemoweb JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (Linux; Android 11; SM-G991B) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/96.0.4664.104 Mobile Safari/537.36 Injection-Info: news2.nemoweb.net; posting-host="c8a117b950a7752a8af676f652ca7b628dbdb564"; logging-data="2021-12-24T00:27:43Z/6420980"; posting-account="1@news2.nemoweb.net"; mail-complaints-to="newsmaster@news2.nemoweb.net" JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1 JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96 From: Julien Arlandis Bytes: 3514 Lines: 48 Le 24/12/2021 à 00:55, Samuel DEVULDER a écrit : > Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit : >> Je me réponds à moi même. >> 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3) > > Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles > deux expressions indépendantes. Pour que les deux termes soient sur le même "feuillet". > moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3) Ben non, car +/-1 + +/-1 conduit à 3 valeurs. Voir la discussion sur les surfaces de Riemann. >> Dans cette application il faut distinguer 6 variétés : >> k = 6n + 0 => +2 >> k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2 >> k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2 >> k = 6n + 3 => 0 >> k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2 >> k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2 > > ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6. Oui. >> Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une >> répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des >> réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ? > > Si z = exp(alpha i), vérifie z^n = 1 (z est racine de l'unité), on en > déduit en divisant par z^n des deux cotés que 1 = 1/z^n = 1/exp(alpha i) > = exp(-alpha i) = cos(alpha) - sin(alpha i) = conjugué(z). > > Bref si un complexe est racine de l'unité, son conjugué l'est aussi (en > plus d'être égal à son inverse). Ceci implique que les racines de > l'unité sont symétriques par rapport à l'axe réel. > > Cela explique la symétrie verticale que tu observes. > > Quand à l'interprétation géométrique de la figure complète tu as j^k (où > j est classiquement la racine 3e de l'unité) qui décrit un triangle > équilatéral et donc +/-1 + j^k donne ce triangle équilatéral translaté > horizontalement de +/- 1, pour un total de 6 points. > > sam.