Path: ...!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!news.trigofacile.com!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Abscisses_de_discontinuit=c3=a9?= Date: Mon, 11 Jul 2022 22:26:29 +0200 Organization: There's no cabale Lines: 40 Message-ID: References: <7d121e0b-dee4-4394-aab8-6a4d929ceb85n@googlegroups.com> NNTP-Posting-Host: 220.12.205.77.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1657571189 13272 77.205.12.220 (11 Jul 2022 20:26:29 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Mon, 11 Jul 2022 20:26:29 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: Bytes: 2616 Le 11/07/2022 21:55, je me répondais : > > f(x) = floor(x − 2 pi floor(x + 1/2)) > > g(y) = f(−1/2 − y) : > > Les points de discontinuité de g(y), outre ceux où y est entier, sont ceux > où « 2 pi ceil(y) − y » est demi-entier. Ça n'est pas encore un problème > trivial, mais ça me semble déjà un peu plus simple à étudier. y n'étant pas un entier, en posant k = ceil(y), je peux écrire y = k − e avec k entier et 0 < e < 1. Soit n le nombre entier qui est égal à (2 pi ceil(y) − y − 1/2). On a : 2 pi ceil(y) − y − 1/2 = n 2 pi k − (k − e) − 1/2 = n (2 pi − 1)k + e − 1/2 = n e = n + 1/2 - (2 pi − 1)k frac(e) = frac(n + 1/2 - (2 pi − 1)k) (où frac(x) = x − ceil(x)) frac(e) = frac(1/2 - (2 pi − 1)k) (car n est un entier) e = frac(1/2 - (2 pi − 1)k) (puisque 0 < e < 1) En conclusion, les points de discontinuité y pour g(y) = f(−1/2 − y) sont les entiers, et aussi tous les nombres de la forme : k − frac(1/2 - (2 pi − 1)k) pour k entier. À partir de là, on peut revenir à : x = −1/2 − y = −1/2 − k + frac(1/2 − (2 pi − 1)k) D'ailleurs, un changement de variable k -> −k simplifie un peu la formule, et les points de discontinuité sont alors de la forme : x = k − 1/2 x = k − 1/2 + frac(1/2 + (2 pi − 1)k) -- Olivier Miakinen