Path: ...!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail
From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?=
Date: Fri, 20 Aug 2021 17:38:46 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 63
Message-ID: <sfoia6$5ll$1@cabale.usenet-fr.net>
References: <sfj4li$9mv$1@cabale.usenet-fr.net>
NNTP-Posting-Host: 132.184.116.78.rev.sfr.net
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1629473926 5813 78.116.184.132 (20 Aug 2021 15:38:46 GMT)
X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net
NNTP-Posting-Date: Fri, 20 Aug 2021 15:38:46 +0000 (UTC)
User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101
 Firefox/60.0 SeaMonkey/2.53.1
In-Reply-To: <sfj4li$9mv$1@cabale.usenet-fr.net>
Bytes: 2879

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
> Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
> trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
> de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.
> 
> Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.
> 
> 
> Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
> 
> | (x+y)(1-xy)  |   1
> |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
> | (1+x²)(1+y²) |   2

Plutôt que vous renvoyer vers la vidéo en anglais, je vous en propose
un résumé en français.

L'idée de SybarMath est de remplacer x par tan(a)=sin(a)/cos(a) et y par
tan(b)=sin(b)/cos(b). Quels que soient x et y, un tel remplacement est
toujours possible, avec cos(a) et cos(b) non nuls.

On calcule alors chacun des quatre facteurs (x+y), (1-xy), (1+x²) et
(1+y²) en fonction de a et b.

(x+y) = tan(a) + tan(b)
 = sin(a)/cos(a) + sin(b)/cos(b)
 = (sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a))/(cos(a)cos(b))
 = sin(a+b)/(cos(a)cos(b))

(1-xy) = 1 - tan(a)tan(b)
 = 1 - sin(a)sin(b)/(cos(a)cos(b))
 = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))/(cos(a)cos(b))
 = cos(a+b)/(cos(a)cos(b))

(x+y)(1-xy) = sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²)

(1+x²) = 1 + tan(a)²
 = 1 + sin(a)²/cos(a)²
 = (cos(a)² + sin(a)²)/cos(a)²
 = 1/cos(a)²

1/(1+x²) = cos(a)²

1/(1+y²) = cos(b)²

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
 = sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²) × cos(a)²cos(b)²
 = sin(a+b)cos(a+b)

Or sin(2u) = 2sin(u)cos(u), donc :

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
 = sin(a+b)cos(a+b)
 = (1/2) (2sin(a+b)cos(a+b)
 = (1/2) sin(2(a+b))

Puisque un sin() est toujours compris entre -1 et +1, l'expression
(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²)) est comprise entre -1/2 et 1/2, donc sa
valeur absolue est ≤ 1/2.


-- 
Olivier Miakinen