Path: ...!feeds.phibee-telecom.net!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?[SOLUTION]_Biaiser_les_probabilit=c3=a9s?= Supersedes: Date: Tue, 30 Jan 2024 16:59:42 +0100 Organization: There's no cabale Lines: 74 Message-ID: References: NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1706630382 23863 93.28.89.200 (30 Jan 2024 15:59:42 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Tue, 30 Jan 2024 15:59:42 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 X-Mozilla-News-Host: news://200.89.28.93.rev.sfr.net In-Reply-To: Bytes: 4404 [Supersedes pour corriger le titre] Le 28/01/2024 11:11, Julien Arlandis a écrit : > > Vous disposiez d'un ticket composé de N cases à gratter, chaque case > représente soit un gain soit une perte avec une probabilité de 1/2. Le > jeu consiste à miser sur n'importe quelle case non grattée et pour faire > votre choix vous avez la possibilité de gratter autant de cases que vous > le désirez (dans la limite de N-1 sinon vous ne pouvez plus jouer). > La question est la suivante : existe t-il une stratégie qui permette de > gagner avec une probabilité strictement supérieure à 1/2 ? Je vais prouver par récurrence que l'on ne peut pas faire mieux que miser sur une case au hasard et ne gratter que celle-là. Et que ce résultat est vrai même si on sait au départ combien de cases de la grille sont gagnantes (donc par exemple une grille équilibrée avec N/2 cases gagnantes et N/2 cases perdantes). Définissons une fonction de choix c(n,*) à valeurs dans [0, 1]. Le premier paramètre n est le nombre de cases non encore grattées, mais il peut y avoir d'autres paramètres (que je note *), par exemple le nombre de cases gagnantes nos grattées (si tant est qu'on connaisse ce nombre), ou bien le nombre de cases gagnantes ou perdantes déjà grattées. Si c(n,*) = 1, on mise sur la prochaine case et on la gratte. Si c(n,*) = 0, on gratte une nouvelle case sans avoir misé dessus. Si c(n,*) est strictement compris entre 0 et 1, alors on tire au hasard pour savoir si on doit miser (avec la probabilité c(n,*)) avant de gratter la case suivante. J'impose juste que c(1,*) = 1 parce que le contraire serait stupide, mais pour n > 1 je te laisse choisir c(n,*) comme tu veux. Je vais prouver par récurrence que pour tout n, si g est le nombre de cases gagnantes parmi les n cases restantes, alors la probabilité de gain est égale à g/n quelle que soit la stratégie c(n,*). Tout d'abord, si n=1, c(1,*) valant 1 on est forcé de miser, et on gagne si g=1 tandis qu'on perd si g=0. On vérifie bien dans ce cas que la probabilité de gagner est g/n (c'est-à-dire g puisque n=1). Supposons maintenant que l'hypothèse est vraie au rang n-1, et vérifions la au rang n. On choisit de miser avec une probabilité c(n,*) et de ne pas miser avec une probabilité (1 - c(n,*)). Si on mise, on gagne avec une probabilité g/n. Si on ne mise pas, on se retrouve alors dans l'un des deux cas suivants après avoir gratté : − (n-1, g-1) avec une probabilité g/n − (n-1, g) avec une probabilité (n-g)/n D'après l'hypothèse de récurrence, la probabilité de gagner devient alors : − (g-1)/(n-1) dans le premier cas − g/(n-1) dans le second cas On peut maintenant calculer la probabilité de gagner depuis (n, g) : proba = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g/n × (g-1)/(n-1) + (n-g)/n × g/(n-1)) = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g(g-1) / n(n-1) + g(n-g) / n(n-1)) (*) = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g(n-1) / n(n-1)) = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × g/n = g/n Ce résultat démontré par récurrence est complètement indépendant de la fonction de choix, CQFD. -- Olivier Miakinen (*) pour simplifier l'écriture je suppose ici que la multiplication n(n-1) est prioritaire sur la division par /