Path: ...!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!pasdenom.info!from-devjntp Message-ID: JNTP-Route: news2.nemoweb.net JNTP-DataType: Article Subject: Re: Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?= References: Newsgroups: fr.sci.maths JNTP-HashClient: 2I7Z70BxbJ0XpLAfS8vY3ISiGmk JNTP-ThreadID: l0gNFAdvyypIfmo9bX5RCw69dNE JNTP-Uri: http://news2.nemoweb.net/?DataID=AwhC0NrRGgifODLq2eueLPAHO6Y@jntp User-Agent: Nemo/0.999a JNTP-OriginServer: news2.nemoweb.net Date: Tue, 30 Jan 24 16:08:20 +0000 Organization: Nemoweb JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_15_7) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/120.0.0.0 Safari/537.36 Injection-Info: news2.nemoweb.net; posting-host="7ac9f7d2cc9927fe35e096fd866299fdf9a6662b"; logging-data="2024-01-30T16:08:20Z/8677307"; posting-account="1@news2.nemoweb.net"; mail-complaints-to="newsmaster@news2.nemoweb.net" JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1 JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96 From: Julien Arlandis Bytes: 4917 Lines: 67 Le 30/01/2024 à 14:21, Olivier Miakinen a écrit : > Le 30/01/2024 13:21, Julien Arlandis a écrit : >> >> Es tu sûr de ta formule ? > > Maintenant oui, d'autant plus que les chances que je me sois trompé mais > que je tombe sur une formule hyper-compliquée dont le résultat soit par > hasard exactement égal à un demi, ces chances sont assez minces ! > > Voici mon raisonnement. > > Pour commencer, déterminons ce qu'est une situation gagnante avec cette > stratégie. Je note G le fait de découvrir une case gagnante et P celui > de découvrir une case perdante. > > Pour que tu paries, il faut que tu découvres un P, et que ce soit la > première fois que le nombre de P devient strictement supérieur au nombre > de G. Cela veut dire que la séquence juste avant ce P contient autant de > G que de P (notons k ce nombre de G et de P), et qu'à tout moment il y a > eu dans cette séquence au moins autant de G que de P. > > Cette séquence de longueur 2k est un mot de Dyck, avec des G à la place > des X et des P à la place des Y : > . > Le nombre de mots de Dyck de longueur 2k est exactement le nombre de > Catalan d'indice k, soit (2k)!/k!/(k+1)!, et c'est bien sûr un entier. > > Pour que tu paries à ce moment-là, il faut que ce mot de Dyck soit > suivi par un P, et pour que tu gagnes il faut que ce P soit suivi par > un G. Voici un exemple de combinaison gagnante : "GGPGPPPG" où le > début "GGPGPP" est un mot de Dyck et la fin est invariablement "PG". > > Calculons les probabilités d'obtenir cette combinaison particulière, ça > donnera une idée du cas général. > − premier G : n/(2n) > − deuxième G : (n-1)/(2n-1) > - premier P : n/(2n-2) > - troisième G : (n-2)/(2n-3) > - deuxième P : (n-1)/(2n-4) > - troisième P : (n-2)/(2n-5) > - quatrième P : (n-3)/(2n-6) > - quatrième G : (n-3)/(2n-7) > > Aux numérateurs, on a deux fois n, deux fois (n-1), deux fois (n-2) et deux > fois (n-3), même si c'est dans le désordre. > Aux dénominateurs, on a tous les nombres de 2n à 2n-7, dans l'ordre. > De façon assez évidente, on peut voir que pour tout autre nombre de Dyck > de même longueur on aura les mêmes numérateurs (quoique dans un ordre > différent) et les mêmes dénominateurs (dans le même ordre). > > Et donc, la probabilité de gagner suite à "un" mot de Dyck de longueur 2k > donné, c'est le carré de n(n-1)...(n-k) divisé par (2n)(2n-1)...(2n-1-2k). > > Il faut sommer ça sur tous les mots de Dyck de toutes les longueurs possibles, > sachant que pour la longueur 2k le nombre de mots de Dyck correspondant est > le nombre de Catalan d'indice k. > > Un petit peu de manipulation algébrique, et on arrive à la formule que j'ai > donnée. Le raisonnement me semble joli mais comment résous tu le paradoxe suivant : À la seule exception du cas où l'on gratte N-1 case, au moment de la mise il reste toujours une case gagnante de plus à gratter que de cases perdantes parmi les cases restantes ? Intuitivement, on s'attend donc à ce qu'au moment de la mise on ait plus de chances de tomber sur un gain que sur une perte et donc que la probabilité de gain soit supérieure à 1/2. Comment l'expliques tu ?