Path: ...!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?[SOLUTION]_solve_a_+_k_b_~_entier_=28_i.e._=c3=a0_moins_d?= =?UTF-8?Q?'epsilon_d'un_entier_=29?= Date: Fri, 10 Nov 2023 17:28:23 +0100 Organization: There's no cabale Lines: 42 Message-ID: References: <654d3788$0$25951$426a74cc@news.free.fr> NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1699633703 81370 93.28.89.200 (10 Nov 2023 16:28:23 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Fri, 10 Nov 2023 16:28:23 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: Bytes: 2784 Le 09/11/2023 21:25, je répondais à robby : >> >> soit a,b deux réels positifs. >> je cherche k entier >> tel que a + k b soit à moins de epsilon d'un entier. >> >> → combien vaut k ? > > - si b est irrationnel, le calcul de la fraction continuée de b permet de > trouver très vite une approximation par un rationnel p/q avec une précision > inférieure à 1/q² : > . Parmi toutes les approximations de cette forme, considérons la première trouvée pour laquelle q est supérieur à 1/ε. On a alors : 0 < |b − p/q| < 1/q² < ε/q d'où : 0 < |q⋅b - p| < ε et donc q⋅b est à une distance (non nulle) inférieure à ε d'un entier. Considérons maintenant, pour un entier m donné, la différence entre m(q⋅b - p) et (m + 1)(q⋅b - p). Cette différence vaut |q⋅b - p| qui est non nulle mais inférieure à ε. Donc, en partant de a et en y ajoutant (q⋅b - p), puis 2(q⋅b - p), 3(q⋅b - p), 4(q⋅b - p), et ainsi de suite, tu obtiens une série de nombres dont chacun est à moins de ε du précédent. Il y en a forcément un, pour un entier k donné, tel que a + k(q⋅b - p) est à une distance inférieure à ε d'un entier. Vu que p est lui-même un entier, ajouter k⋅p au résultat ne change pas la distance aux entiers, d'où le résultat : a + (k⋅q)⋅b est à une distance inférieure à ε d'un entier. CQFD. Rappel : ceci ne vaut que si b est irrationnel, parce que si b est rationnel voire entier il est possible que le problème n'ait pas de solution pour certaines valeurs de a et de ε. -- Olivier Miakinen