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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
Date: Sat, 7 Oct 2023 17:52:11 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 62
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References: <5cb27064-fa94-4526-8d56-320bf41ee455n@googlegroups.com>
 <ufr3k4$28q0v$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Sat, 7 Oct 2023 15:52:12 -0000 (UTC)
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Content-Language: fr, en-US
Bytes: 4546

Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit :
> Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit :
>> Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit :
>>> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
>>> Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est
>>> v = 1 km/h
>>> Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse
>>> S = 100 km/h
>>> La question est (bien évidemment par rapport à la route)
>>> quelle est la longueur du trajet de la moto.
>>> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
>>> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)
>>>
>>>
>>>
>>> Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ?
>>>
>>> ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard.
>>> Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes)
>>>
>>> confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois.
>>> Sans réponse sérieuse.
>>> https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ
>> Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le
>> référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
>> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
>> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
>> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
>> avec a différent de b.
>>
>> On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la
>> solution développée en fonction de vr^2/S << 1.
>>
>> Un petit exercice de math sup pas très difficile.
>>
>> -- 
>> F.J.
> Merci de participer.
> Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème.
> Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats)
> Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile "
> Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique

Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans 
la vitesse angulaire :)

Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au 
premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route 
est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto 
est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi 
évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse 
ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une 
glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x) 
et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes 
que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale 
différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement 
circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce 
résultat étonnant.

-- 
F.J.