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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?La_s=c3=a9rie_des_infinis?=
Date: Tue, 26 Sep 2023 19:25:14 +0200
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Bonjour,

Je suis en train de lire la rubrique de Jean-Paul Delahaye dans le dernier
/Pour la Science/.

Il y est rappelé que :
- le premier infini dans la théorie ZFC est le cardinal des nombres entiers
  noté ℵ₀ (aleph zéro) ;
- le cardinal des nombres réels est 2^ℵ₀ qui est strictement supérieur à ℵ₀ ;
- Cantor ne savait pas prouver si 2^ℵ₀ est ou non égal à l'infini juste
  supérieur, à savoir ℵ₁ (aleph un) − hypothèse du continu;
- Kurt Gödel et Paul Cohen ont montré à eux deux que cette question est un
  indécidable de ZFC.

Ma question est un peu plus fondamentale que l'hypothèse du continu. J'aimerais
savoir comment on peut prouver qu'il existe réellement un unique « aleph un »
qui soit « le plus petit » infini strictement supérieur à aleph zéro, et plus
généralement que pour un « aleph n » donné l'ensemble des infinis strictement
plus grands que aleph n admette un plus petit élément appelé « aleph n+1 ».

Par exemple, dans l'ensemble des entiers il existe effectivement un unique
entier 1 qui est le plus petit entier strictement supérieur à 0, mais ce n'est
plus vrai dans l'ensemble des rationnels ou dans celui des réels. Comment
prouve-t-on qu'on ne peut pas avoir le même phénomène dans les alephs ?

-- 
Olivier Miakinen