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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Exercice pour les jeunes
Date: Mon, 10 Jun 2024 18:01:57 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
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Injection-Date: Mon, 10 Jun 2024 18:01:58 +0200 (CEST)
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Le 10/06/2024 à 17:33, kurtz le pirate a écrit :
> On 10/06/2024 12:16, efji wrote:
>> C'est la plus mauvaise méthode pour inverser un système linéaire en
>> terme d'efficacité. Pour un système 2x2 ça passe, 3x3 éventuellement,
>> mais au delà c'est impraticable car le calcul des déterminants est très
>> long.
> 
> Ben au "collège", je ne pense pas qu'ils dépassent (dépassaient) le 2x2
> non ? Et dans ce cas, Cramer n'est pas si mauvais que ça.

Oui bien sûr. Toutes les méthodes se valent pour 2x2

> 
> 
> 
>> En terme de complexité algorithmique, calculer un déterminant nxn à un
>> coût en n!, soit grosso modo n^n. La méthode de Gauss pour résoudre un
>> système linéaire a un coût en n^3.
> 
> D'accord avec toi. Moi, ça ne me gène pas Gauss, mais ce n'est sûrement
> pas du niveau collège.

Pour un système 2x2 ça revient juste à éliminer une variable dans une 
des équations, et à remplacer dans l'autre.

> 
> Le coût en n! n'engage que toi...

C'est le coût nominal si on veut utiliser la formule qui définit le 
déterminant comme une forme n-linéaire alternée. Après, si on est dans 
un cas où on peut à moindre coût diagonaliser ou triangulariser la 
matrice (par exemple avec une méthode de type Gauss), on a directement 
le déterminant comme produit des coefficients diagonaux de la matrice 
triangulaire. Donc disons qu'on est capables de calculer un déterminant 
avec une complexité n^3. Dans la méthode de Cramer pour un système nxn 
interviennent les calculs de n+1 déterminant (celui de la matrice et n 
déterminants dans lesquels on a remplacé une colonne par le second 
membre du système). Le coût est donc (n+1)*n^3 = n^4.

-- 
F.J.