Path: ...!3.eu.feeder.erje.net!feeder.erje.net!usenet.goja.nl.eu.org!pasdenom.info!from-devjntp
Message-ID: <0pVhcHoML986zy6NPSMDV8UIjHY@jntp>
JNTP-Route: nemoweb.net
JNTP-DataType: Article
Subject: Comment retrouver les racines complexes d'une =?UTF-8?Q?=C3=A9quation=20q?= 
 =?UTF-8?Q?uadratique=20?=
Newsgroups: fr.sci.maths
JNTP-HashClient: nOl4ho8nozRBOTcg8kJK4-7daCU
JNTP-ThreadID: rfsoWKySRP_DxHm985NahnSkzcI
JNTP-Uri: https://www.nemoweb.net/?DataID=0pVhcHoML986zy6NPSMDV8UIjHY@jntp
User-Agent: Nemo/1.0
JNTP-OriginServer: nemoweb.net
Date: Wed, 12 Mar 25 18:02:38 +0000
Organization: Nemoweb
JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/134.0.0.0 Safari/537.36
Injection-Info: nemoweb.net; posting-host="0622b338f00df6c7e122ad5f6ee90645acf995aa"; logging-data="2025-03-12T18:02:38Z/9239709"; posting-account="4@nemoweb.net"; mail-complaints-to="julien.arlandis@gmail.com"
JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1
JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96
From: Richard Hachel <r.hachel@tiscali.fr>
Bytes: 4455
Lines: 99


 Retrouver les racines réelles d'une équation, c'est très facile, et on 
le sait depuis au moins un millénaire.

 On pose x=[-b(+/-)sqrt(b²-4ac)]/2a

 Les mathématiciens ont démontré pourquoi.

 Maintenant, il est fréquent que les équations quadratiques n'aient pas 
de racines. 

 Le proverbe chinois dit : "Quand une hirondelle vole, elle vole". 

 Isaac Newton disait la même chose : "Quand équation pas racine, elle, 
pas racine". 

 De petits mathématiciens malins ont cependant fait des pieds et des 
mains, pour que : "Quand équation pas racines, équation racines quand 
même."

 L'idée est alors venue, d'introduire l'imaginaire i dans l'équation, 
afin de pouvoir utiliser une racine carré carrément méchante, puisque 
méchamment négative.

 Le problème, c'est que cette introduction est arbitraire, même si elle 
est intéressante, car elle ne dit
pas très "clairement" à quoi correspond la nouvelle géométrie sur le 
papier.

 On dit qu'on utilise un nombre qui est à la fois négatif (pour que le 
discriminent se positive) et à la fois carré, pour le ressortir comme 
simple i.

 Et ce nombre, on le rend égal à 1, ce qui permet de multiplier en 
interne sans contestation possible, mais sans voir très clair sur ce que 
va produire ce nouveau i dans les formulations. 

 

 Equation typique : f(x)=x²+4x+5=0

 Pas de racines réelles selon la formule écrite plus haut. 

 On va donc écrire x=[-b(+/-)sqrt(-i²)(b²-4ac)]/2a

 Mais est-ce vraiment valable? 

 L'immense Richard Hachel, théoricien de génie, triple prix Nobel, 
future médaille Fields pour ses travaux
portant sur les nombres complexes, pose la question.

 Puisque j'ai le droit de multiplier sans que six camionnettes de 
gendarmerie ne débarquent chez moi à six heures du matin, multiplions.

 1=sqrt(-i²) selon ce que dit Jean-Pierre. Multiplions tout par 1, et pas 
seulement le discriminant.

 x=[sqrt((-b)².i²)²(-i²)(+/-)sqrt(-i²)(b²-4ac)]/sqrt(-i².4a²)

 x=[b(+/-)sqrt[(-b².i²)-(4ac.i²)]/sqrt(4a²)

 x=[b(+/-)sqrt(b²+4ac)]2a

 C'est l'équation d'Hachel, tout aussi régulièrement que l'autre, mais 
qui trouve des racines complexes complétement différente.

 La question qui se pose est celle-ci: le fait d'introduire i dans une 
simple partie d'une équation et qui semble à première vue immensément 
correcte depuis des siècles, mais qui va donner les racines d'une 
rotation de la courbe de 180° sur le sommet S et non sur le point de 
symétrie $(0,y₀) est-elle valide.

 Dans le premier cas, nous trouvons les racines données par Python et les 
mathématiciens. 
 x'=-2+i et x"=-2+i. Soit les points A(0,-3) et B(0,-1)

 Dans l'autres les racines complétement différentes x'=2+3i et x"=2-3i 
soit A(0,1) et B(0,5).

 Certes, dans les deux cas, nous avons une rotation de 180°, une même 
utilisation de -i²=1

 Mais sur quelle injonction divine faut-il utiliser l'une plus que 
l'autre?

 Pourquoi une rotation de 180° sur le point S plutôt que sur le point $?

 Je vous laisse à vos réflexions (caféine autorisée).

 R.H.