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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Racines multiples
Date: Sun, 18 May 2025 20:45:48 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 81
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 <O5Lkig-ukrEuctkQgULTUkJWglQ@jntp>
 <0108cffb7716cb1334b8274855419d8fd6cd9194@i2pn2.org>
 <X9eulHqFazVwnAyv685SqBNSGIQ@jntp>
 <824787ad63fef02fae139f7a99225be81c98e97e@i2pn2.org>
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Injection-Date: Sun, 18 May 2025 20:45:49 +0200 (CEST)
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Le 18/05/2025 à 11:55, Michel Talon a écrit :
> Le 18/05/2025 à 10:04, Jacques Mathon a écrit :
>> Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :
>>> ...
>>>> si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
>>>
>>> Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première 
>>> analyse mais difficile à justifier.
>>
>> Si tel n'est pas le cas alors, par définition, f n'est pas une 
>> fonction du moins en théorie des ensembles.
>> En effet : "En théorie des ensembles, une fonction ou application est 
>> une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du 
>> premier est en relation avec un unique élément du second[1]. Parfois, 
>> on distingue la notion de fonction en affaiblissant la condition comme 
>> suit : chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus 
>> un élément du second."
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)
>>
>> Amicalement
> 
> Je sais que certains ici maudissent les bourbakistes, mais pour 
> quelqu'un qui a été
> éduqué aux maths modernes, dont à mon avis l'abandon a été un désastre 
> total, ils sont un point de référence absolu.  Donc voici ce que dit 
> Dieudonné dans ses
> Eléments d'analyse:
> 
> "
> Ainsi que nous l’avions annoncé dans le chapitre I le lecteur ne
> trouvera, dans ce chapitre, aucune allusion aux fonctions dites «à
> valeurs multiples» ou fonctions «multiformes». 11 est naturellement
> gênant de ne pas pouvoir définir, dans le corps C, une authentique
> fonction continue √z qui vérifierait la relation (√z)^2 = z. Mais on
> ne doit certainement pas chercher à résoudre cette difficulté par une
> violation délibérée de la notion générale d'application, qui
> consisterait à décréter soudainement qu'après tout il existe une telle
> fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle d’avoir, pour
> tout z ≠ 0, deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette attitude
> ridicule et indécente est immédiat : il est impossible d'utiliser les
> opérations algébriques les plus élémentaires, de façon raisonnable ;
> par exemple, la relation 2√z = √z + √z n'est certainement pas vraie,
> car, si nous nous rapportons à la «définition» de √z, nous devons
> attribuer , pour z ≠ 0 , deux valeurs distinctes au membre de gauche
> et trois au membre de droite! Heureusement, il existe une solution à
> cette difficulté qui n'a rien à voir avec un tel non-sens.
> 
> Elle a été découverte par Riemann, il y a plus de cent ans; elle
> consiste à rétablir l’unicité de la valeur de √z . en «doublant», pour
> ainsi dire, le domaine de la variable z, de façon que les deux valeurs
> de √z correspondent à deux points, au lieu d'un seul : trait de génie
> s’il en fut jamais, qui est à l’origine de grande théorie des surfaces
> de Riemann, et de leur généralisation moderne, les variétés
> analytiques complexes, que nous définirons au chapitre XVI.
> L'étudiant qui désire connaître ces belles théories, en plein essor à
> l'heure actuelle, pourra lire la présentation classique de H. Weyl
> [19], et celle, moderne , de Springer, des surfaces de Riemann ainsi
> que le séminaire de H. Cartan [7] et le livre récent de A. Weil [18]
> sur les variétés complexes.
> "
> Je suppose qu'il parle du livre sur les variétés Kahleriennes de  André 
> Weil,
> le frère de la philosophe et figure dominante du groupe Bourbaki. Quand 
> à la diatribe sur les fonctions multiformes je suppose qu'il vise le 
> cours d'analyse de
> Goursat, dont les bourbakistes disaient qu'on ne sait jamais d'où on 
> part et où on arrive chez lui, mais qui néanmoins contient plein de 
> choses intéressantes.  Il peut
> être intéressant de savoir que ces concepts, Surfaces de Riemann, 
> Variétés de Kahler, etc. sont centrales en théorie des cordes, le sujet 
> de pointe de la physique théorique.
> 

Sans aller jusqu'à les "maudire", je ne suis pas fan de l'influence 
globale qu'ont eu les bourbakistes sur les mathématiques en général, 
mais il faut avouer que le passage cité ci-dessus est limpide et clot 
totalement le sujet.

-- 
F.J.