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From: WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
Newsgroups: sci.logic
Subject: Re: Simple enough for every reader?
Date: Tue, 3 Jun 2025 15:17:57 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 81
Message-ID: <101msm5$qln$1@dont-email.me>
References: <100a8ah$ekoh$1@dont-email.me> <100ccrl$upk6$1@dont-email.me>
 <100cjat$vtec$1@dont-email.me> <100fdbr$1laaq$1@dont-email.me>
 <100funo$1ous9$1@dont-email.me> <100haco$24mti$1@dont-email.me>
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 <100sajh$lkp7$2@dont-email.me> <100us6p$1b4q2$1@dont-email.me>
 <100uvfe$1b4dh$3@dont-email.me> <1011fkf$1v4kb$1@dont-email.me>
 <1011qrn$20v83$1@dont-email.me> <10149ic$2jtva$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Tue, 03 Jun 2025 15:17:57 +0200 (CEST)
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In-Reply-To: <101mah1$3t0cq$1@dont-email.me>
Content-Language: en-US
Bytes: 5880

On 03.06.2025 10:08, Mikko wrote:
> On 2025-06-01 14:15:06 +0000, WM said:
> 
>> On 01.06.2025 13:53, Mikko wrote:
>>> On 2025-05-31 13:40:12 +0000, WM said:
>>>
>>>> On 31.05.2025 11:59, Mikko wrote:
>>>>> On 2025-05-30 14:25:22 +0000, WM said:
>>>>
>>>>>> Here I use induction in Cantor's set. That is allowed. Cantor did 
>>>>>> it too.
>>>>>
>>>>> No, there is no artithmetic induction and no set induction there.
>>>>
>>>> "daß die Reihe
>>>>             1, i2, i3, ..., i, ...
>>>> nur eine Permutation der Reihe
>>>>             1, 2, 3, ..., , ...
>>>> ist. Dies beweisen wir durch vollständige Induktion,"
>>>> [Cantor, collected works, p. 305]
>>>
>>> Did Cantor acurally prove that with a complete induction? As far as
>>> I have seen Cantor has proven what he promised to prove.
>>
>> Cantor often used induction: vollständige Induktion. But that is 
>> irrelevant.
> 
> Indeed. An answer to my question would have been relevant but you didn't
> give any. Apparently you don't know whther or how Cantor proved what he
> claimed in the sentence that is partially quoted.

I know it, but it is rather tedious. If you are interested, you may look 
it up yourself or refer to the shorter proof I attach below.

I had only to show that in Cantor's set theory proofs by arithmetic 
induction are possible. That confirms my proof:
ℵo - 1 = ℵo
P[1]: {1} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n]: {1, 2, 3, ..., n} has infinitely many (ℵo) successors.
P[n+1]: {1, 2, 3, ..., n, n+1} has infinitely many (ℵo) successors.

> As there is no complete
> sentence in the quoted text fragemnt it is hard to say what exacly he was
> going to do but I can't imagine any completion of the sentence that does
> not promise to use complete induction for something.
> 
Here Cantor shows a shorter application of induction:

Ich schicke folgenden allgemeinen, höchst einleuchtenden Hilfssatz 
voraus: sind irgend zwei Mengen M und N äquivalent, so können sie (im 
allgemeinen auf viele Weisen) so in gegenseitig eindeutige und 
vollständige Zuordnung gebracht werden, daß bei dieser Zurodnung einem 
beliebig vorgegebenen Elemente m von M ein ebenso beliebig gewähltes 
Element n von N entspricht.
	Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein vollständiges 
Induktionsverfahren eingeleitet.
	Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile 
äquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch 
Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe 
Eigenschaft hat,  mit keinem ihrer Bestandteile äquivalent zu sein. Sei 
N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fälle darbieten. 1) 
Es gehört das Element l mit zu N, so daß N = N'  + l. N' ist dann 
offenbar auch Bestandteil von M. Wäre nun N ~ M + l, so könnte nach 
obigem Hilfssatze zwischen den Mengen  N und M + l  eine solche 
gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz hergestellt 
werden, daß das Element  l von N dem Element l von M + l entspricht; 
durch diese Zuordnung würde auch eine Zuordnung zwischen N' nd M 
hergestellt sein und es wäre M seinem Bestandteil N' äquivalent, gegen 
unsere Voraussetzung. 2) Es gehört l nicht mit zu N; dann ist N nicht 
nur Bestandteil von M + l sondern auch von M. Wäre in diesem Falle N ~ M 
+ l, so nehme man irgendeine gegenseitig eindeutige vollständige 
Zuordnung der beiden Mengen M + l und N und es möge bei derselben dem 
Elemente l von M + l das Element n vonN entsprechen. Ist N =N' + n, so 
wäre durch diese Zuordnung auch eine gegenseitig eindeutige und 
vollständige Korrespondenz zwischen N' und M hergestellt, was, da auch 
hier N' Bestandteil von M ist, gegen die gemachte Voraussetzung 
streitet, wonach M keinem ihrer Bestandteile äquivalent ist.
[Cantor's collected works p. 415]

Regards, WM