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Path: ...!weretis.net!feeder9.news.weretis.net!news.quux.org!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.eternal-september.org!eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> Newsgroups: sci.logic Subject: Re: Simple enough for every reader? Date: Wed, 4 Jun 2025 19:32:28 +0200 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 77 Message-ID: <101pvvc$upfh$1@dont-email.me> References: <100a8ah$ekoh$1@dont-email.me> <100cjat$vtec$1@dont-email.me> <100fdbr$1laaq$1@dont-email.me> <100funo$1ous9$1@dont-email.me> <100haco$24mti$1@dont-email.me> <100hocb$2768i$1@dont-email.me> <100mpm7$3csuv$1@dont-email.me> <100much$3drk8$1@dont-email.me> <100p8v7$k2$1@dont-email.me> <100pbot$dmi$1@dont-email.me> <100rv2t$jpca$1@dont-email.me> <100sajh$lkp7$2@dont-email.me> <100us6p$1b4q2$1@dont-email.me> <100uvfe$1b4dh$3@dont-email.me> <1011fkf$1v4kb$1@dont-email.me> <1011qrn$20v83$1@dont-email.me> <10149ic$2jtva$1@dont-email.me> <1014kja$2l9jj$4@dont-email.me> <1016h9p$35it9$1@dont-email.me> <101797i$39rdb$1@dont-email.me> <1019bki$3qe6q$1@dont-email.me> <1019s2k$3sv8u$3@dont-email.me> <101bu77$dqtr$1@dont-email.me> <101cf4h$gl20$2@dont-email.me> <101ejtv$129q7$1@dont-email.me> <101f0rr$14h5f$2@dont-email.me> <101hevt$22j02$1@dont-email.me> <101hn99$25a4g$2@dont-email.me> <101mah1$3t0cq$1@dont-email.me> <101msm5$qln$1@dont-email.me> <101opv8$m16h$1@dont-email.me> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Wed, 04 Jun 2025 19:32:29 +0200 (CEST) Injection-Info: dont-email.me; posting-host="1da7c28597661c2937c1f62129a9afb6"; logging-data="1009137"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX193nk3b3Tmk2qTQe23be5OD211vrFUqfI4=" User-Agent: Mozilla Thunderbird Cancel-Lock: sha1:FQUk4gFcCYfneJIXso/t5bJcNyA= In-Reply-To: <101opv8$m16h$1@dont-email.me> Content-Language: en-US Bytes: 5618 On 04.06.2025 08:43, Mikko wrote: > On 2025-06-03 13:17:57 +0000, WM said: >> I had only to show that in Cantor's set theory proofs by arithmetic >> induction are possible. > > Which you didn't show. Cantor shows it. > >> That confirms my proof: >> ℵo - 1 = ℵo >> P[1]: {1} has infinitely many (ℵo) successors. >> P[n]: {1, 2, 3, ..., n} has infinitely many (ℵo) successors. >> P[n+1]: {1, 2, 3, ..., n, n+1} has infinitely many (ℵo) successors. > > So far good. But no P[n] -> P[n+1] and no induction. ℵo - 1 = ℵo. > >>> As there is no complete >>> sentence in the quoted text fragemnt it is hard to say what exacly he >>> was >>> going to do but I can't imagine any completion of the sentence that does >>> not promise to use complete induction for something. > >> Here Cantor shows a shorter application of induction: >> >> Ich schicke folgenden allgemeinen, höchst einleuchtenden Hilfssatz >> voraus: sind irgend zwei Mengen M und N äquivalent, so können sie (im >> allgemeinen auf viele Weisen) so in gegenseitig eindeutige und >> vollständige Zuordnung gebracht werden, daß bei dieser Zurodnung einem >> beliebig vorgegebenen Elemente m von M ein ebenso beliebig gewähltes >> Element n von N entspricht. >> Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein >> vollständiges Induktionsverfahren eingeleitet. >> Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile >> äquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch >> Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe >> Eigenschaft hat, mit keinem ihrer Bestandteile äquivalent zu sein. >> Sei N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fälle >> darbieten. 1) Es gehört das Element l mit zu N, so daß N = N' + l. N' >> ist dann offenbar auch Bestandteil von M. Wäre nun N ~ M + l, so >> könnte nach obigem Hilfssatze zwischen den Mengen N und M + l eine >> solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz >> hergestellt werden, daß das Element l von N dem Element l von M + l >> entspricht; durch diese Zuordnung würde auch eine Zuordnung zwischen >> N' nd M hergestellt sein und es wäre M seinem Bestandteil N' >> äquivalent, gegen unsere Voraussetzung. 2) Es gehört l nicht mit zu N; >> dann ist N nicht nur Bestandteil von M + l sondern auch von M. Wäre in >> diesem Falle N ~ M + l, so nehme man irgendeine gegenseitig eindeutige >> vollständige Zuordnung der beiden Mengen M + l und N und es möge bei >> derselben dem Elemente l von M + l das Element n vonN entsprechen. Ist >> N =N' + n, so wäre durch diese Zuordnung auch eine gegenseitig >> eindeutige und vollständige Korrespondenz zwischen N' und M >> hergestellt, was, da auch hier N' Bestandteil von M ist, gegen die >> gemachte Voraussetzung streitet, wonach M keinem ihrer Bestandteile >> äquivalent ist. >> [Cantor's collected works p. 415] > > That is an indirect proof. It is applying induction in set theory. > You seem to prefer direct proofs. That is irrelevant. But in fact it supplies the shortest proof that not all natural numbers of Cantor's set can be individually defined: Since all natural numbers can be reduced to the empty set by subtracting them collectively, ℕ \ {1, 2, 3, ...} = { } they could also be reduced to the empty set by subtracting them individually - if this was possible. But then the well-order would force the existence of a last one. Contradiction. Regards, WM