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<101pvvc$upfh$1@dont-email.me>

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From: WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
Newsgroups: sci.logic
Subject: Re: Simple enough for every reader?
Date: Wed, 4 Jun 2025 19:32:28 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 77
Message-ID: <101pvvc$upfh$1@dont-email.me>
References: <100a8ah$ekoh$1@dont-email.me> <100cjat$vtec$1@dont-email.me>
 <100fdbr$1laaq$1@dont-email.me> <100funo$1ous9$1@dont-email.me>
 <100haco$24mti$1@dont-email.me> <100hocb$2768i$1@dont-email.me>
 <100mpm7$3csuv$1@dont-email.me> <100much$3drk8$1@dont-email.me>
 <100p8v7$k2$1@dont-email.me> <100pbot$dmi$1@dont-email.me>
 <100rv2t$jpca$1@dont-email.me> <100sajh$lkp7$2@dont-email.me>
 <100us6p$1b4q2$1@dont-email.me> <100uvfe$1b4dh$3@dont-email.me>
 <1011fkf$1v4kb$1@dont-email.me> <1011qrn$20v83$1@dont-email.me>
 <10149ic$2jtva$1@dont-email.me> <1014kja$2l9jj$4@dont-email.me>
 <1016h9p$35it9$1@dont-email.me> <101797i$39rdb$1@dont-email.me>
 <1019bki$3qe6q$1@dont-email.me> <1019s2k$3sv8u$3@dont-email.me>
 <101bu77$dqtr$1@dont-email.me> <101cf4h$gl20$2@dont-email.me>
 <101ejtv$129q7$1@dont-email.me> <101f0rr$14h5f$2@dont-email.me>
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Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed
Content-Transfer-Encoding: 8bit
Injection-Date: Wed, 04 Jun 2025 19:32:29 +0200 (CEST)
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User-Agent: Mozilla Thunderbird
Cancel-Lock: sha1:FQUk4gFcCYfneJIXso/t5bJcNyA=
In-Reply-To: <101opv8$m16h$1@dont-email.me>
Content-Language: en-US
Bytes: 5618

On 04.06.2025 08:43, Mikko wrote:
> On 2025-06-03 13:17:57 +0000, WM said:

>> I had only to show that in Cantor's set theory proofs by arithmetic 
>> induction are possible.
> 
> Which you didn't show.

Cantor shows it.
> 
>> That confirms my proof:
>> ℵo - 1 = ℵo
>> P[1]: {1} has infinitely many (ℵo) successors.
>> P[n]: {1, 2, 3, ..., n} has infinitely many (ℵo) successors.
>> P[n+1]: {1, 2, 3, ..., n, n+1} has infinitely many (ℵo) successors.
> 
> So far good. But no P[n] -> P[n+1] and no induction.

ℵo - 1 = ℵo.
> 
>>> As there is no complete
>>> sentence in the quoted text fragemnt it is hard to say what exacly he 
>>> was
>>> going to do but I can't imagine any completion of the sentence that does
>>> not promise to use complete induction for something.
> 
>> Here Cantor shows a shorter application of induction:
>>
>> Ich schicke folgenden allgemeinen, höchst einleuchtenden Hilfssatz 
>> voraus: sind irgend zwei Mengen M und N äquivalent, so können sie (im 
>> allgemeinen auf viele Weisen) so in gegenseitig eindeutige und 
>> vollständige Zuordnung gebracht werden, daß bei dieser Zurodnung einem 
>> beliebig vorgegebenen Elemente m von M ein ebenso beliebig gewähltes 
>> Element n von N entspricht.
>>     Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein 
>> vollständiges Induktionsverfahren eingeleitet.
>>     Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile 
>> äquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch 
>> Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe 
>> Eigenschaft hat,  mit keinem ihrer Bestandteile äquivalent zu sein. 
>> Sei N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fälle 
>> darbieten. 1) Es gehört das Element l mit zu N, so daß N = N'  + l. N' 
>> ist dann offenbar auch Bestandteil von M. Wäre nun N ~ M + l, so 
>> könnte nach obigem Hilfssatze zwischen den Mengen  N und M + l  eine 
>> solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz 
>> hergestellt werden, daß das Element  l von N dem Element l von M + l 
>> entspricht; durch diese Zuordnung würde auch eine Zuordnung zwischen 
>> N' nd M hergestellt sein und es wäre M seinem Bestandteil N' 
>> äquivalent, gegen unsere Voraussetzung. 2) Es gehört l nicht mit zu N; 
>> dann ist N nicht nur Bestandteil von M + l sondern auch von M. Wäre in 
>> diesem Falle N ~ M + l, so nehme man irgendeine gegenseitig eindeutige 
>> vollständige Zuordnung der beiden Mengen M + l und N und es möge bei 
>> derselben dem Elemente l von M + l das Element n vonN entsprechen. Ist 
>> N =N' + n, so wäre durch diese Zuordnung auch eine gegenseitig 
>> eindeutige und vollständige Korrespondenz zwischen N' und M 
>> hergestellt, was, da auch hier N' Bestandteil von M ist, gegen die 
>> gemachte Voraussetzung streitet, wonach M keinem ihrer Bestandteile 
>> äquivalent ist.
>> [Cantor's collected works p. 415]
> 
> That is an indirect proof.

It is applying induction in set theory.

> You seem to prefer direct proofs.

That is irrelevant. But in fact it supplies the shortest proof that not 
all natural numbers of Cantor's set can be individually defined:
Since all natural numbers can be reduced to the empty set by subtracting 
them collectively,
ℕ \ {1, 2, 3, ...} = { }
they could also be reduced to the empty set by subtracting them 
individually - if this was possible. But then the well-order would force 
the existence of a last one. Contradiction.

Regards, WM