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From: Mikko <mikko.levanto@iki.fi>
Newsgroups: sci.logic
Subject: Re: Simple enough for every reader?
Date: Sun, 29 Jun 2025 13:25:11 +0300
Organization: -
Lines: 325
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References: <100a8ah$ekoh$1@dont-email.me> <102jkju$52ir$1@dont-email.me> <102jva3$68hi$2@dont-email.me> <102m7g4$rqqe$1@dont-email.me> <102mrjb$10ko1$2@dont-email.me> <102ohr2$1gc76$1@dont-email.me> <102osui$1j1c3$1@dont-email.me> <102rfal$2am0a$1@dont-email.me> <102rhlt$2b85u$1@dont-email.me> <102u1gk$32100$1@dont-email.me> <102ug2t$35ekh$1@dont-email.me> <1030dft$3obvv$1@dont-email.me> <10315us$3tqn8$2@dont-email.me> <1033805$lvet$1@dont-email.me> <1033ks9$1075$1@dont-email.me> <10360hf$10lrl$1@dont-email.me> <10365va$11afj$3@dont-email.me> <1038it5$epe7$1@dont-email.me> <1039873$jtod$1@dont-email.me> <103b13q$14dr9$1@dont-email.me> <103bc1r$17360$2@dont-email.me> <103dqb3$1u2kv$1@dont-email.me> <103engv$25bv0$1@dont-email.me> <103g9t2$2l4am$1@dont-email.me> <103hkv3$2voqr$1@dont-email.me> <103j7qu$3dl3j$1@dont-email.me> <103jgq9$3fje0$1@dont-email.me> <103lhgp$11qu$1@dont-email.me> <103mrsa$b011$1@dont-email.me> <103oe8v$ppfi$1@dont-email.me> <103osb9$sphe$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Sun, 29 Jun 2025 12:25:12 +0200 (CEST)
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On 2025-06-28 13:56:57 +0000, WM said:

> On 28.06.2025 11:56, Mikko wrote:
>> On 2025-06-27 19:36:41 +0000, WM said:
>> 
>>> On 27.06.2025 09:33, Mikko wrote:
>>>> On 2025-06-26 13:09:32 +0000, WM said:
>>> 
>>>>> 
>>>>> If we subtract in the order that is used for enumerating then a last 
>>>>> one is necessary.
>>>> 
>>>> No, there is no last one in an infinete enumeration.
>>> 
>>> Then it is not finished or completed.
>> 
>> No, but it can be continued.
> 
> That is potential infinity. But Cantor claimed complete enumeration.

There is no mathematical definiton of "complete enumeration" so it is
possible that Cantor's enumeartion is "omplete" is one sense and
"incomplete" in another.

> The notion set can only be applied to complete sets. i.e., sets which 
> cannot be continued.

Saying that every set is "complete" does not mean anything, unlike saying
that some sets are "finite" as some sets are not and there is a criterion
for differentiation betwee "inite" and "infinite".

>>>> We can remove all odd numbers from the
>>>> natural numbers, leaving the even numbers, but there is no last number
>>>> removed.
>>> 
>>> Then not all are removed. All completely, never ending and in order 
>>> implies a contradiction.
>> 
>> All are removed when all are removed.
> 
> When done in natural order, then a last one is to be removed before all 
> are removed. ℕ \ {1, 2, 3, ...} = { }.

No. You said that every set is complete, so {1, 2, 3, ...}, which must
be a set in oreder to be valid for the context is complete and so is
ℕ \ {1, 2, 3, ...}, which is jsut another way to say { }-

> This cannot be accomplished

There is nothing to accomplish. What is is, that's all.

>  by any definable natural number because
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| =/= 0.
> 
>> Being completed is not a mathematical concept. An infinite sequence just
>> is infinite.
> 
> 	1.1 Cantor's original German terminology on infinite sets
> 
> The reader fluent in German may be interested in the subtleties of 
> Cantor's terminology on actual infinity the finer distinctions of which 
> are not easy to express in English. While Cantor early used 
> "vollständig" and "vollendet" to express "complete" and "finished", the 
> term "fertig", expressing "finished" too but being also somewhat 
> reminiscent of "ready", for the first time appeared in a letter to 
> Hilbert of 26 Sep 1897, where all its appearances had later been added 
> to the letter.
> 	But Cantor already knew that there are incomplete, i.e., potentially 
> infinite sets like the set of all cardinal numbers. He called them 
> "absolutely infinite". The details of this enigmatic notion are 
> explained in section 1.2 (see also section 4.1. – Unfortunately it has 
> turned out impossible to strictly separate Cantor's mathematical and 
> religious arguments.)

There is nothing religious in Cantor's arguments. The only traces of
his religious motivations are in the choice of his symbols, in paricular
aleph and omega.

> 	1.1.1 Vollständig
> 
> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und 
> vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn 
> es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen 
> geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet 
> sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder 
> auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]

Above "vollständig" qualifies the verb "zuordnen" so the meaning may
differe from what it would mean when qualifying the word "set" or
any word that refers to all or some sets. It could be traslated as
"fully" or "completely", meaning that no member of either set is
unpaired.

> "gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz" [Cantor, p. 238]

Usually "eindeutige und vollständige" is expressed in English with
"one-to-one", or "gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz"
is expressed as "bijection". The word "gegenseitig" is not really
necessaty but at the time the idea was new and therefore greater clarity
was needed.

> "Die sämtlichen Punkte l unsrer Menge L sind also in gegenseitig 
> eindeutige und vollständige Beziehung zu sämtlichen Punkten f der Menge 
> F gebracht," [Cantor, p. 241]

The same meaning and translation ("one-to-one" or "bijection") applies
here, too.

> "Zwei wohlgeordnete Mengen M und N heissen von gleichem Typus oder auch 
> von gleicher Anzahl, wenn sie sich gegenseitig eindeutig und 
> vollständig unter beidseitiger Wahrung der Rangfolge ihrer Elemente auf 
> einander beziehen, abbilden lassen;" [G. Cantor, letter to R. Lipschitz 
> (19 Nov 1883)]

Another way to say the same.

> "Zwei bestimmte Mengen M und M1 nennen wir äquivalent (in Zeichen: M ~ 
> M1), wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig, gegenseitig eindeutig 
> und vollständig, Element für Element, einander zuzuordnen." [Cantor, p. 
> 412]
> 
> "doch gibt es immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele 
> Zuordnungsgesetze, durch welche zwei äquivalente Mengen in gegenseitig 
> eindeutige und vollständige Beziehung zueinander gebracht werden 
> können." [Cantor, p. 413]
> 
> "eine solche gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz 
> hergestellt [...] irgendeine gegenseitig eindeutige und vollständige 
> Zuordnung der beiden Mengen [...] auch eine gegenseitig eindeutige und 
> vollständige Korrespondenz" [Cantor, p. 415]
> 
> "Zwei n-fach geordnete Mengen M und N werden 'ähnlich' genannt, wenn es 
> möglich ist, sie gegenseitig eindeutig und vollständig, Element für 
> Element, einander so zuzuordnen," [Cantor, p. 424]

In all these example "eindeutig and vollständig" is an feature of
the correspondence, not of any set. A correspondence can be expressed
with a set but was not in the above exmples (because "corresspondence"
was well understood at the time but "set" was not).

So no example of a set of being "complete".

> 	1.1.2 Vollendet
> 
> "Zu dem Gedanken, das Unendlichgroße [...] auch in der bestimmten Form 
> des Vollendet-unendlichen mathematisch durch Zahlen zu fixieren, bin 
> ich fast wider meinen Willen, weil im Gegensatz zu mir wertgewordenen 
> Traditionen, durch den Verlauf vieljähriger wissenschaftlicher 
> Bemühungen und Versuche logisch gezwungen worden," [Cantor, p. 175]

This basically says that there is no real difference between actual
and potential infinity.

> "In den 'Grundlagen' formulire ich denselben Protest, indem ich an 
> verschiedenen Stellen mich gegen die Verwechslung des 
> Uneigentlich-unendlichen (so nenne ich das veränderliche Endliche) mit 
> dem Eigentlich-unendlichen (so nenne ich das bestimmte, das vollendete 
> Unendliche, oder auch das Transfinite, Überendliche) ausspreche. Das 
> Irrthümliche in jener Gauss'schen Stelle besteht darin, dass er sagt, 
> das Vollendetunendliche könne nicht Gegenstand mathematischer 
> Betrachtungen werden; dieser Irrthum hängt mit dem andern Irrthum 
> zusammen, dass er [...] das Vollendetunendliche mit dem Absoluten, 
> Göttlichen identificirt, [...] Das Vollendetunendliche findet sich 
> allerdings in gewissem Sinne in den Zahlen ,  + 1, ..., , ...; sie 
> sind Zeichen für gewisse Modi des Vollendetunendlichen und weil das 
> Vollendetunendliche in verschiedenen, von einander mit der äussersten 
> Schärfe durch den sogenannten 'endlichen, menschlichen Verstand' 
> unterscheidbaren Modificationen auftreten kann, so sieht man hieraus 
> deutlich wie weit man vom Absoluten entfernt ist, obgleich man das 
> Vollendetunendliche sehr wohl fassen und sogar mathematisch auffassen 
> kann." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

More of the same.

> "da nun jeder Typus auch im letzteren Falle etwas in sich Bestimmtes, 
> vollendetes ist, so gilt ein gleiches von der zu ihm gehörigen Zahl. 
> [...] 'Eigentlichunendlichem = Transfinitum = Vollendetunendlichem = 
> Unendlichseiendem = kategorematice infinitum' [...] dieser Unterschied 
> ändert aber nichts daran, daß  als ebenso bestimmt und vollendet 
> anzusehen ist, wie 2," [G. Cantor, letter to K. Laßwitz (15 Feb 1884). 
> Cantor, p. 395]
> 
========== REMAINDER OF ARTICLE TRUNCATED ==========