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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
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From: Python <jp@python.invalid>
Bytes: 4814
Lines: 69

Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :
> Le 15/05/2025 à 15:25, Python a écrit :
>> Le 15/05/2025 à 08:22, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 14/05/2025 à 23:04, Python a écrit :
>>>> Le 14/05/2025 à 15:04, Julien Arlandis a écrit :
>>>>> Le 14/05/2025 à 13:03, Python a écrit :
>>>>>> Le 14/05/2025 à 12:57, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>> ...
>>>>>>> Dans ce que j'ai compris de la représentation des complexes en feuillets de 
>>>>>>> Riemann, exp(2iπ) et exp(4iπ) seraient deux nombres distincts
>>>>>> 
>>>>>> Mais non !!!! D'où t'as sorti une absurdité pareille !!! 2i*pi et 4i*pi sont 
>>>>>> distincts, ce qui explique que le log est multivalué pour une valeur *unique* de z = 
>>>>>> exp(2i*pi) = exp(4i*pi) !!!
>>>>>> 
>>>>>>> qui vivent sur deux feuillets distincts. Je trouve cette interprétation 
>>>>>>> séduisante dans la mesure où ça permet de généraliser (a^x)^y = a^(x*y) aux 
>>>>>>> complexes et de n'avoir qu'un seul résultat possible par opération, ce qui me parait 
>>>>>>> raisonnable. 
>>>>>>> 
>>>>>>> Dans ce cas exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1 et exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1.
>>>>>>> 
>>>>>>> Vrai, faux ?
>>>>>> 
>>>>>> Faux. -1 et 1 sont *toutes deux* des valeurs sur des branches différentes de la 
>>>>>> fonction multivaluée sqrt pour la valeur unique exp(2iπ) = exp(4iπ).
>>>>>> 
>>>>>> C'est l'image de ce type de "fonction" qui est multivaluée PAS l'antécédent.
>>>>> 
>>>>> Il y a quelques années sur ce groupe, on avait justement évoqué le problème 
>>>>> des fonctions multivaluées, et j'avais compris - peut être à tort - que la solution 
>>>>> apportée par Riemann permettait de s'en affranchir. Si deux nombres sont sur des 
>>>>> feuillets différents c'est qu'ils ne sont pas tout à fait égaux non ?
>>>> 
>>>> Euh non. Pas du tout. Même dans R on peut arriver à décrire des fonctions 
>>>> multivaluées, ça ne rend pas différents des valeurs identiques.
>>>> 
>>>> Prend l'inverse de f(x) = x^2. Pour chaque valeur y tu obtiens une branche qui 
>>>> est sqrt(y) et une autre -sqrt(y) et qui se recollent en x=0. 
>>>> 
>>>> Tu peux faire pareil avec f(x) = sin(x), tu obtiendras une infinité de branches 
>>>> pour la fonction inverse, ça ne rend pas différent des valeurs identiques.
>>>> 
>>>> Tu devrais vraiment tout reprendre à zéro à partir des définitions.
>>> 
>>> Je dis pas qu’il ne faut pas de fonctions multivaluées,
>> 
>> Je n'ai pas affirmé que tu disais ainsi.
>> 
>>> je trouve juste curieux que l’opérateur de puissance soit multivalué en 
>>> fonction de la nature de l’exposant.
>> 
>> Ce n'est pas le cas. z^a a une valeur unique.
> 
> Je comprends plus rien.
> 
> C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en a deux : 
> -1 et +1. 
> Je parle pas du résultat de la branche principale qui relève de l'arbitraire 
> pur.

J'ai répondu trop vite, effectivement il y a deux valeurs, la fonction 
z->z^(1/2) est bi-valuée.

De fait tout vient de la multi-valuation du logarithme, c'est seulement si 
l'exposant est un entier relatif n que z^n n'exprime qu'une seule valeur 
car z^n = exp(i*n*arg(z)+2*i*pi*n*k) = exp(i*n*arg(z)) qui ne dépend pas 
de k.