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Subject: Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers
Newsgroups: fr.sci.maths
References: <6140b92c$0$3732$426a74cc@news.free.fr>
 <shqhjh$224l$1@cabale.usenet-fr.net> <6140d564$0$3706$426a34cc@news.free.fr>
From: HB <bayosky@pasla.invalid>
Date: Tue, 14 Sep 2021 19:05:11 +0200
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Le 14/09/2021 à 19:01, HB a écrit :
> Le 14/09/2021 à 18:11, Olivier Miakinen a écrit :
>> Le 14/09/2021 17:00, ast a écrit :
>>>
>>> Selon cette page wikipédia
>>>
>>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples 
>>>
>>>
>>> il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non
>>> constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les
>>> entiers n, ou même pour presque tous les n
>>>
>>> une idée de la démo ?
>>
>> Une preuve donnée il y a quatre jours par Michael Penn :
>> <https://www.youtube.com/watch?v=SyrJD1zZwmQ&t=709s>.
>>
>> En résumé, soit p = P(1) le nombre premier obtenu en calculant P(n) 
>> pour n = 1,
>> alors il prouve que quel que soit m entier la valeur P(1 + m.p) est un 
>> multiple
>> de p, nombre qui doit donc être égal à p si on suppose que tout P(n) 
>> est un
>> nombre premier.
>>
>> Ce polynôme donne une infinité de valeurs égales à p, par conséquent 
>> ça ne peut
>> être qu'un polynôme constant.
>>
>>
> Bonjour,
> 
> Je ne comprend pas pourquoi il limite son polynôme à F(X)
> sum{k=1..n;a_k.X^k}
> 
> Rien n'interdit dans l'hypothèse de départ,
> de commencer à k = 0...
> 
> L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
> (0 est compris)
> 
> Et donc ... on peut faire plus simple :
> 
> posons F(0) = p (qui est donc premier)
> 
>   F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
> 
> soit m un entier
> 
>   F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
> 
> F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
> donc F(m.p) = p pour tout entier m
> (puisqu'il doit aussi être premier)
> 
> La conclusion est immédiate :
> l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
> F est constant.
> 
> Amicalement,
> 
> HB
> 

P.S. :
Pour remplacer "F(X) est premier pour tout entier X"
par "F(X) est premier pour presque tout entier X"
cela risque d'être plus lourd à mettre en forme...

HB