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Subject: Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers
Newsgroups: fr.sci.maths
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From: HB <bayosky@pasla.invalid>
Date: Wed, 15 Sep 2021 12:07:33 +0200
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Le 15/09/2021 à 11:00, ast a écrit :
(...)
>>
>> L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
>> (0 est compris)
>>
>> Et donc ... on peut faire plus simple :
>>
>> posons F(0) = p (qui est donc premier)
>>
>>   F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
>>
>> soit m un entier
>>
>>   F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
>>
>> F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
>> donc F(m.p) = p pour tout entier m
>> (puisqu'il doit aussi être premier)
>>
>> La conclusion est immédiate :
>> l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
>> F est constant.
>>

> 
> Effectivement, cette démonstration me parait à la fois
> correcte et simple
> 
bonjour,

En fait, prouver que c'est valable avec
"F(X) est premier pour presque tout entier X"
n'est guère moins simple.

La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
telles que F(X) est non premier.
(notons A l'ensemble fini de ces X malchançeux)

il suffit lorsque que l'on arrive à

"F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m"
d'ôter les éléments de A à la suite des m.p

Il reste donc un ensemble infini de m.p avec
F(m.p) premier donc égaux à p.
Ce qui suffit.

cordialement,

HB