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Subject: Re: Puissance complexe
Newsgroups: fr.sci.maths
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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
Date: Wed, 22 Dec 2021 11:44:21 +0100
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Le 21/12/2021 à 09:45, Julien Arlandis a écrit :
> Le 21/12/2021 à 09:00, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit :
>>
>>> Mézalors dans ce cas :
>>> 2 * sqrt(-1) = 0
>>
>> Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i}
> 
> sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i}
> 
> Ce qui donne un résultat différent de 2*sqrt(-1).
> 
> J'en déduis que l'on ne peut pas factoriser une variable multivaluée, ce 
> qui est quand même embêtant pour faire du calcul.
> 
>>> sqrt(-1) = 0
>>> i = 0
>>
>> sam.
> 
> 


Je vais citer ici le texte de Dieudonné qui figure dans l'introduction 
au chapitre 9 de son cours fleuve: Elements d'analyse.

Il est naturellement gênant de ne pas pouvoir définir dans le corps C
une authentique fonction continue sqrt(z) qui vérifierait la relation
(sqrt(z))^2 = z. Mais on ne doit certainement pas chercher à résoudre 
cette difficulté par une violation délibérée de la notion générale 
d'application qui consisterait à décréter soudainement qu'après tout il 
existe une telle fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle
d'avoir pour tout z /= 0 deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette 
attitude ridicule et indécente est immédiat: il est impossible 
d'utiliser les opérateurs algébriques les plus élémentaires, de façon 
raisonnable:
par exemple la relation 2 sqrt(z)=sqrt(z)+sqrt(z) n'est certainement pas 
vraie car ... le membre de gauche a 2 valeurs et le membre de droite en 
a 3.
Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été 
découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir 
l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine 
de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent 
à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui 
est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann....

Voilà, en particulier pour le log, la surface de Riemann a une infinité 
de feuillets au dessus de C, sur chacun de ces feuillets le log a une 
valeur bien définie dans la famille log |z| + 2 i k pi  Les points au 
dessus de 0 et infini sont particuliers on parle revêtement branché.
Le cas le plus intéressant est celui des fonctions algébriques, solution
(en y) de P(x,y)=0 (P polynome de degré n en y) où la surface de Riemann
a n feuillets au dessus du plan complexe des x, mais avec plein de 
points de branchement (les valeurs de x pour lesquelles il y a des 
racines multiples). Ces surfaces sont analytiques lisses, on peut aller 
d'un feuillet à un autre par un chemin continu.



-- 
Michel Talon