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Subject: Re: Puissance complexe
Newsgroups: fr.sci.maths
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Le 26/12/2021 à 15:30, Samuel DEVULDER a écrit :
> 
> Mécanique quantique, Équation de Schrödinger et opérateur de spin 
> peut-être ?
> 
> Je cite 
> https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/meca_q/cours_chap4.pdf 
> 
> 
>      <<Une interprétation géométrique est de dire que l'espace de
>      spin est un *double recouvrement* de l'espace des directions
>      de l'espace ordinaire.>>
> 
> Ca me fait furieusement penser aux feuillets de Riemann cette histoire.

Tout à fait à juste titre, il se trouve que le groupe des rotations de 
l'espace SO(3) n'est pas simplement connexe et qu'il a un revêtement
simplement connexe à 2 feuillets SU(2) (appelé revêtement universel) et 
c'est lui qui a une représentation en mécanique quantique sur le spin 
1/2. J'ai trouvé sur le web un problème qui explicite ces notions:

http://www.normalesup.org/~tly/631Revetements.pdf

Le point est que Wigner a expliqué que les symétries comme la symétrie 
de rotation se traduisent en mécanique quantique par des représentations
du groupe de symétrie sur l'espace des états mais qui peuvent en fait 
être des représentations du revêtement universel du groupe de symétrie.
Le spin 1/2 peut avoir deux états, "up" et "down" et donc la 
représentation d'une rotation doit se faire par des matrices 2x2 ce qui
n'est possible qu'avec SU(2). Ce qui est amusant c'est que SU(2) est
plongé dans Sl(2,C) les matrices 2x2 complexes de déterminant 1, et ce 
groupe représente le groupe de Lorentz tout entier. Il existe aussi la 
représentation complexe conjuguée de la précédente, il faut considérer 
les deux ensembles si on veut pouvoir représenter la conjugaison de 
charge, il faut donc un couple de spineurs, appelé bispineur, ou spineur 
et spineur ponctué par exemple dans le cours de Landau et Lifchitz. On a 
là les 4 composantes du "spineur de Dirac" introduites naturellement.



-- 
Michel Talon