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Date: Mon, 1 Aug 2022 08:35:38 +0200
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Subject: Re: Y a-t-il un matheux dans la salle ?
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Le 31/07/2022 à 22:10, Olivier Miakinen a écrit :
> [diapublication avec suivi]
> 
> Le 31/07/2022 19:07, Gilles 80rt a écrit dans le sujet :
>> Y a-t-il un matheux dans la salle ?
> 
(...)
>>
>> Alors voilà : https://www.cjoint.com/c/LGFqZ4ixtZp
>>
>> J'ai 3 couples longueur d'arc/flèche dont il faudrait que je trouve le
>> rayon pour pouvoir les tracer. La valeur angulaire de l'arc m'importe
>> peu, tout ce qui compte c'est d'avoir la longueur et la flèche
> 
> Soient f la flèche, l la longueur de l'arc, et r le rayon cherché.
> J'appelle aussi x (en radians) l'angle correspondant à la demi-longueur l/2.
> 
> On a :
> 
> l = 2.r.x
> f = r.(1 − cos x) = 2.r.sin²(x/2)
> 
> On en tire : f/l = ( 2.r.sin²(x/2) ) / ( 2.r.x ) = sin²(x/2) / x
> 
(...)
> 
>> Par itérations pifométrico-approximatives je m'en approche petit à
>> petit, mais c'est long et pénible, alors qu'il y a sans doute une
>> méthode un peu plus orthodoxe pour y arriver...
>>
>> Les valeurs
>>    	Flèche	Longueur	Rayon
>> 1	15.96	241.8
>> 2	1.36	241.8
>> 3	1.36	283.3
>>
>> Merci pour vos lumières !
> 
> Je laisse les valeurs numériques, je n'ai pas trop le temps de tester si
> mon approximation est correcte dans ces cas-là. Voir avec fr.sci.maths.
> 
(...)

Bonjour,

Puisque l'angle n'est pas l'inconnu, on peut l'éliminer :
L = 2.R.x  et F = R - R.cos(x) donnent

L = 2.R.x  et  x = Arccos(1 - F/R) et donc

                     L = 2.R.Arccos(1 - F/R)

A partir de là, trouver R en fonction de L et F avec des formules 
exactes me semble assez improbable.

En revanche, obtenir de très bonnes valeurs approchées est assez facile 
avec un tableur.
(outil "valeur cible" ou solveur plus sophistiqué par exemple).
Puisqu'il s'agit d'un problème de bricolage,
je présume que la formule exacte importe peu...

Avec les valeurs fournies plus haut, j'obtiens :

   F	  L	     R	       L-2.R.Arcos(1-F/R)
15,96	241,8	455,2344809	0,000126636
1,36	241,8	5373,573504	0,000607904
1,36	283,3	7376,508731	1,54559E-05

Bien cordialement,

HB