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Date: Wed, 15 Mar 2023 07:42:19 +0100
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Subject: Re: 0!=1 ?
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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
In-Reply-To: <turdrh$naru$1@dont-email.me>
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Le 15/03/2023 à 04:25, Dominique a écrit :
> Bonjour,
> 
> Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en 
> sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance 
> zéro est comme 0!...
> 
> Il me faut confesser mon âge (65 ans) et mon BEPC pour seul diplôme 
> scolaire...
> 
> Ma question vient d'une petite énigme Python, notamment trouver deux 
> nombres dont la somme de la factorielle de tous ses chiffres était égal 
> à ces nombres.
> 
> Ça marche avec 145=1+4*3*2+5*4*3*2
> 
> Ça marche aussi avec 40585, sauf que je n'ai pas réussi à le trouver. En 
> effet, 4*3*2+5*4*3*2*2+8*7*6*5*4*3*2=40584. Mais c'est normal, j'avais 
> omis ce 0!=1, convention que je ne connaissais pas... Donc, j'ai échoué 
> à cette énigme (je m'en remettrai). Mais ma question reste pleine et 
> entière : pourquoi 0!=0^0=1 ?
> 

Parce que n! a une extension à une fonction sur tout le plan complexe, 
pour laquelle il est évident qu'il faut prendre 0!=1. Voir
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
Avec par exemple:
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur R + ∗  par les trois 
propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :

    - Γ ( 1 ) = 1
    - Pour tout x > 0 x>0\,, on a : Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x )
    - la fonction composée ln ∘ Γ  est convexe sur R + ∗

et comme n!=Γ(n+1) on a bien 0!=1.

En ce qui concerne 0^0 c'est plus une question de convention, mais en 
général a^b est défini comme exp(b*log(a)) si a et b tendent vers 0 "à
la même vitesse" alors b tend vers 0 "plus vite" que log(a) donc
b*log(a) tend vers 0 et exp(b*log(a)) tend vers 1. Il est donc naturel
de prolonger a^b de cette manière, là où il est mal défini.


-- 
Michel Talon