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Date: Thu, 12 Oct 2023 15:07:42 +0200
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User-Agent: Mozilla Thunderbird
Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
Newsgroups: fr.sci.maths
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Content-Language: fr
From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
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Le 12/10/2023 à 13:53, efji a écrit :
> Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
> avec a différent de b.

En fait maxima nous donne:
(%i3) integrate(sqrt(a+b*sin(t)),t);
                             /
                             [
(%o3)                       I sqrt(b sin(t) + a) dt
                             ]
                             /
(%i4) changevar(%,u=sin(t),u,t);

solve: using arc-trig functions to get a solution.
Some solutions will be lost.
                          /
                          [      sqrt(b u + a)
(%o4)                    I ----------------------- du
                          ] sqrt(1 - u) sqrt(u + 1)
                          /

ce qui est une intégrale elliptique.  Elle est en effet de la forme 
(a+b*u)/sqrt(P_3(u))  où P_3 est un polynôme de degré 3 explicitement
(1-u)*(1+u)*(a+b*u).   Voir:
  https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_elliptic_function

-- 
Michel Talon