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Date: Mon, 29 Jul 2024 22:46:30 +0200
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Subject: Re: Courbe de Bezier cubique
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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
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Le 28/07/2024 à 21:08, Olivier Miakinen a écrit :
> On a alors :
>   x(t) = (6a+2)t³ - (9a+3)t² + (3a+3)t - 1
>   y(t) = -4t³ + 6t² - 1

Pour prendre un exemple de ce que donne la méthode d'élimination, 
prenons ces formules que tu donnes. Calcul avec maxima:

(%i1) eq1: x=(6*a+2)*t^3-(9*a+3)*t^2+(3*a+3)*t-1$

(%i2) eq2: y=-4*t^3+6*t^2-1$

(%i3) eliminate([eq1,eq2],[t]);

(%o3) [-8*(a^3*(27*y^3-27*y)+a^2*(27*y^3-27*y)+a*(9*y^3+27*y)+y^3
                             +x*(a^2*(54*y^2-54)+a*(36*y^2-108)+6*y^2-54)
                             +x^2*(36*a*y+12*y)+27*y+8*x^3)]
(%i4) facsum(%[1],x,y);

(%o4) (-8*(3*a+1)^3*y^3)-48*(3*a+1)^2*x*y^2-96*(3*a+1)*x^2*y
                         +216*(a-1)*(a+1)^2*y-64*x^3+432*(a+1)^2*x

Ci-dessus on applique facsum  à %[1] car eliminate retourne une liste, 
et % est
le résultat précédent.

On voit que la courbe est une cubique qui passe par le point (0,0)  pour 
tout a, comme tu le remarques. On voit aussi que pour a=-1/3 
l'expression se simplifie:

(%i5) ratsubst(-1/3,a,%);

(%o5) (-128*y)-64*x^3+192*x

En fait ceci est une cubique dégénérée, comme le montre la transformation:

(%i6) factor(ratsubst(x*y,y,%));  /* remplacer y  par x*y  */

(%o6) -64*x*(2*y+x^2-3)

qui est le produit d'une conique par une droite.

Le cas a=1 produit une simplification assez forte.  On s'aperçoit que le 
comportement à l'infini est donné par les termes de degré 3 qui se 
factorisent en
-64*(2*y+x)^3  ce qui justifie le changement de variables suivant:

(%i19) ratsubst(-2*y+X,x,subst(1,a,%o3[1]));

(%o19) (-3456*y)-64*X^3+1728*X
(%i20) factor(%);

(%o20) -64*(54*y+X^3-27*X)

Ici encore y-> X*y  donne le produit d'une droite par une conique 
X*(54*y+X^2-27).

Autre remarque. La courbe est une cubique "unicursale"  puisqu'elle a 
une représentation paramétrique rationnelle. Ce n'est absolument pas le 
cas général des cubiques qui n'ont en général qu'une paramétrisation 
elliptique.  Typiquement  cette dégénérescence se produit quand la 
cubique a un point double  - prenant une droite passant par le point 
double , et qui recoupe la cubique en un point, celui ci dépend 
rationnellement de la pente de la droite.


-- 
Michel Talon