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Date: Fri, 11 Apr 2025 18:03:18 +0200
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Le 11/04/2025 à 17:27, ast a écrit :
Un commentaire basique, c'est qu'une série de ce genre a un disque de 
convergence dans le plan complexe, en général le bord du disque est 
limité par une singularité comme ça se passe dans ton exemple. 
Cependant développant la même fonction autour d'un autre point du disque 
on obtient un autre disque de convergence qui intersecte le précédent 
mais va au delà. De proche en proche on peut donc former ce qui 
s'appelle le prolongement analytique de la série de départ.  Dans le cas 
de 1/(1-x) on a un prolongement partout donné par justement
1/(1-x).  Cependant si tu regardes 1/sqrt(1-x) tu vois qu'il y a un 
problème. En fait
on peut prolonger le long d'une courbe du plan complexe ne passant pas 
par une singularité mais il est bien possible que le prolongement ne 
soit pas le même selon
la courbe que l'on a prise, passant d'un coté ou de l'autre de la 
singularité x=1.
En poussant ce genre de réflexion, on arrive à la notion de surface de 
Riemann d'une fonction algébrique.  Pour celui qui connaît c'est la même 
construction que celle du revêtement universel d'un espace, classes de 
courbes homotopes , mais en y rajoutant le prolongement analytique le 
long des courbes et la possibilité d'avoir
un revêtement branché. Voir le chapitre sur le sujet dans Springer 
Introduction to Riemann surfaces.

> Voilà je n'ai pas vraiment de question, mais quelqu'un a peut-être une 
> commentaire à faire.

-- 
Michel Talon