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Date: Mon, 14 Apr 2025 12:52:19 +0200
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Subject: Re: Somme et produits de nombres complexes
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NNTP-Posting-Date: 14 Apr 2025 12:52:20 CEST
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Le 14/04/2025 à 12:06, Julien Arlandis a écrit :
> Le 14/04/2025 à 12:00, Olivier Miakinen a écrit :
>> Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :
>>>
>>> Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le 
>>> produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble 
>>> n'était pas précisé...
>>
>> On a vu qu'avec des réels quelconques ce n'est pas très intéressant.
>>
>> Qu'en est-il si on doit choisir A et B parmi les entiers de Gauss ?
> 
> Je me suis posé la question, existe t-il d'autres solutions que la 
> solution triviale 1±i ?

Il me semble que le problème posé suppose des solutions en nombres entiers.
Qui parle de complexes dans ce problème?  Il faut donc en premier p^2-4*q >0
pour avoir des solutions réelles.  Il faut ensuite p^2-4*q=r^2 avec r 
entier. mais alors (p-r)*(p+r)=4*q. comme q est premier p+r=k*q ou 
p-r=k*q avec k entier.
Dans le premier cas on a donc forcément  k*(p-r)=4, donc k= 1,2,4 
puisque p-r
est entier. Si par exemple k=2, p-r=2,p+r=2*q donc p=q+1 et 
p2-4*q=(q-1)^2 ce qui est bon. Alors A=[p+(q-1)]/2 =q et B= 
[p-(q-1)]/2=1  ce qui est bien une solution entière. Il faut examiner 
tous les autres cas. Je suppose que c'était ça le sens de la question.

-- 
Michel Talon