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Date: Tue, 20 May 2025 15:00:06 +0200
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Subject: Re: Racines multiples
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Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :
> 
>> 4) en vertu de la règle 1 : exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1
> 
> Non. C'est 1 ou -1 selon le choix de branche. Voir ci-dessus.
> 
>> 5) toujours en vertu de la même règle :
>> exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1
> 
> Même réponse que 4.

Si on définit sqrt(exp(2 i pi)) comme le prolongement analytique de 
exp(z) le long du cercle z=exp(i theta)  de theta =0 à theta =2 pi on a 
bien une réponse claire: -1.
Rappel, le long du cercle on a sqrt(z) = exp (i theta /2)  qui est 
parfaitement continue (et analytique)  pour 0 < theta  < 2 pi  et donc à 
la fin on a exp(i pi) = -1.
Cette façon de procéder est celle qui est à la base de la définition des 
surfaces de Riemann (*).
De la même façon si on continue à tourner sur le cercle trigonométrique 
de theta = 2 i pi jusqu'à 4 i pi le sqrt (z) prend encore un signe - et 
donc exp(4 i pi) = +1
Je pense que ces valeurs ne sont contestées par personne.
En ce qui concerne  la règle exp(x)^y = exp(xy) qui je le rappelle n'est 
vraie que sous des conditions restrictives sur x et y,  Dans le cas 
présent on n'a pas de problème car exp(4 i pi) = (exp (2 ipi))^2  où 
exp(2 i pi) est *réel* et 2 entier, la règle est valide, et  se réduit 
dans le cas d'espèce à (-1)^2=1 ce qui est vrai.  Je ne vois pas où on 
peut trouver une contradiction, sauf bien sûr si on s'amuse à vouloir 
appliquer la règle exp(x)^y = exp(xy) avec y = 1/2 ce qui est hors du 
cadre de validité.
(*)  Voir Springer Chap 3.  Pour être bref  on fait le prolongement 
analytique d'une fonction d'un point origine o à un point final x. On 
obtient donc un "élement" de fonction analytique dans un disque autour 
autour de x. On montre   que si on bouge un peu la courbe, l'élément est 
identique. On définit alors une équivalence entre deux prolongements si 
le point x est le même et l'élément (c'est à dire un développement en 
série) de fonction est identique dans un disque commun de convergence. 
Les classes d'équivalence sont les points de la surface de Riemann. On 
définit là dessus une structure de variété complexe. Ce qui est plus 
compliqué est de traiter le cas des points de branchement.

-- 
Michel Talon