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Date: Sat, 12 Jul 2025 19:49:44 +0200
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Subject: Re: Quelle est la proba ?
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Le 12/07/2025 à 16:26, Michel Talon a écrit :

> > <<Soit un M>=0 un réel donné. Quelle est la probabilité que les 
racines *de module <= M* de x²+bx+c soient réelles ?>>

> Je viens de voir ton problème et le programme python. Sauf 
> incompréhension de ma part il me semble que l'énoncé ne correspond pas 
> exactement au programme. 

Heuu oops, tu as raison. En déplaçant le *de module <= M* pour éviter un 
énoncé lourdingue type <Soit un M>=0 un réel donné. Quelle est la 
probabilité que les deux racines de x²+bx+c soient *de module <= M* et 
soient réelles ?>> j'ai changé le sens de la question. :( Mea cula.

> D'abord pour parler de proba, il faut dire  quelque chose sur le tirage au hasard.
> On peut intuiter qu'an fait il faut choisir b et c au hasard uniforme, 
> mais dans quel domaine?

Oui uniforme dans l'espace des polynômes, ce qui revient à pendre (b,c) 
uniformes dans R² tant que le module des racines <= M. Uniformes sur R² 
revient à prendre b et c chacun uniformes sur R tant que la contrainte 
des modules soit respectée.

Argh: Uniforme dans R pose un soucis pour une résolution numérique... 
Faut il prendre un sous ensemble de R pour estimer la proba ? Si oui 
lequel ?? [?1]

> Ton programme suppose que b et c évoluent dans un carré allant de -M à 2M. 

Pas exactement.
	b = np.random.uniform(-2*M, 2*M, n)
	c = np.random.uniform(-M**2, M**2, n)
donc b dans [-2M,2M] et c dans [-M², M²]. Un rectangle.

> Ca n'a rien d' évident. En fait si b et c sont rééls et les racines complexes, elles ont le  même module et donc le produit des racines , soit c, doit être <= M^2.  

Oui, mais plus encore. Soient x1,x2 les racines, on aussi : b = 
-(x1+x2)/2, donc [b| <= |-(x1+x2)/2| <= (|x1|+|x2|)/2 <= (M+M)/2 <= M.

On peut donc restreindre b de -2M à 2M, c de -M² à M² ce qui évite de 
devoir choisir uniformément (et informatiquement) dans R. Cela réponds à 
[?1] supra.

Cela étant, cela n'est pas la totalité du rectangle qui est pris en 
compte. La ligne 14:

	mask_module = (np.abs(rac1) <= M) & (np.abs(rac2) <= M)

Nous restreint donc aux échantillons uniformes qui conduisent aux 
racines de modules <= M.

(Pour les non initiés à python le programme évalue par Monte-Carlo la 
proba pour un M donné et affiche cette estimation pour M variant de 
plusieurs ordres de grandeurs. Il montre un phénomène étrange.)

>  On doit donc avoir 0 < c <M et b^2-4c <0  ce qui dessine une parabole d'aire 4/3 M^3 sauf erreur.  

Tu veux savoir sur quel sous-domaine du rectangle les racines sont 
non-réelles pour un b fixé entre -2M et 2M.

Attention
1) c'est M² la limite max pour c au delà de laquelle les racines ont un 
module trop grand.
2) 4/3 M^3 c'est l'aire "sous" la parabole; c'est à dire c<=b²/4. Or toi 
tu veux c>b²/4, l'aire au dessus de la parabole ou il n'y a pas de 
solution réelle.

Un autre endroit où il n'y a pas de solution, ce sont les lieux tels que 
le module de la racine > M.

....et là on est à deux pas de la résolution.

Je stoppe ici pour ne pas divulgacher.

La suite plus tard à moins que quelqu'un ne trouve la solution.