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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <Yy1mlIcYSNuxP9UK5oxT5T5Gw7w@jntp> <bOoo5N_S35YclI67GA6F5unEHoE@jntp>
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 <F0cLGfoRzd2nMNFUUKTvC2KupFU@jntp>
Newsgroups: fr.sci.maths
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Date: Wed, 21 May 25 15:33:30 +0000
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From: Python <jp@python.invalid>

Le 21/05/2025 à 17:04, Julien Arlandis a écrit :
> Le 21/05/2025 à 16:44, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 21/05/2025 à 09:03, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :
>>>> Le 20/05/2025 à 09:21, Julien Arlandis a écrit :
>>>>> Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :
>>>>>> Le 17/05/2025 à 16:18, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>> Le 17/05/2025 à 12:38, Python a écrit :
>>>>>>>> [correction d'une erreur à la fin]
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>> Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :
>>>>>>>> ...
>>>>>>>>>> si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais 
>>>>>>>>> difficile à justifier.
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un 
>>>>>>>> certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce 
>>>>>>>> terme a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une 
>>>>>>>> intégrale, par exemple, et b une somme de série).
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a 
>>>>>>>> dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute 
>>>>>>>> identité, inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle 
>>>>>>>> manipulation. 
>>>>>>> 
>>>>>>> Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que exp(x)^y = 
>>>>>>> exp(x*y)
>>>>>>> et en même temps que 
>>>>>>> exp(4iπ*1/2) = 1 = exp(2iπ*1/2) = -1
>>>>>>> Pour le moment personne n'a apporté de réponse claire et intelligible.
>>>>>> 
>>>>>> Comment ça "sauf" ? ?  Ça n'a rien à voir avec ton post ni avec ma réponse. 
>>>>>> Ni avec ta contestation, assez sidérante, que a = b => f(a) = f(b) est faux ou que des 
>>>>>> valeurs égales sont différentes.
>>>>>> 
>>>>>> Et tu zappes toute la partie où j'explique que la notion de n-ième décimale 
>>>>>> d'un réel n'est pas une notion univoque, en général, et que l'argument sur la 1ère 
>>>>>> décimale de 1 et 0.999... ne tient pas une seconde (je prépare un pdf sur cet 
>>>>>> argument qui m'avait interpelé à l'époque de "Joe Cool" alias Zaroueli qui utilisait 
>>>>>> le même).
>>>>> 
>>>>> Je reprendrai cette partie plus tard, mais avant je voudrais éclaircir ma 
>>>>> question initiale. Je reprends point par point.
>>>> 
>>>> Sur ce point la question est pliée et j'ai indiqué tous les détails (à une 
>>>> ou deux fautes évidente de typo). En résumé : pour certains nombres réels x (i.e. 
>>>> une classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels) il existe deux 
>>>> représentants distincts (deux suites de rationnels) qui correspondent au concept de 
>>>> "décimales de x" et donc l'expression "la première décimale de x" ne décrit pas 
>>>> toujours une valeur univoque.
>>>> 
>>>>> Es tu d'accord que (réponse par OUI/NON + arguments) : 
>>>>> 1) exp(x)^y = exp(x*y) 
>>>> 
>>>> [exp(x)]^y = e^(y⋅log(exp(x))) = ...
>>>> 
>>>> -> attention log(exp(x)) n'est x que sur une branche du log, en général : 
>>>> log(exp(x)) = x+2iπk, donc :
>>>> 
>>>> ... = e^(y(x+2iπk))=e^(xy)⋅e^(2iπky)
>>>> 
>>>> Donc non, sauf si y \in Z ou si on choisit la branche k=0 du logarithme
>>> 
>>> Une idée en passant. Ne pourrait on pas construire un ensemble plus large que 
>>> les complexes (on va l'appeler P) où chaque complexe se verrait attribuer une phase 
>>> qui pourrait prendre ses valeurs dans R.
>>> Par convention, quand la phase n'est pas explicitée elle vaut 0 et l'argument 
>>> spécifié dans la forme polaire sinon.
>>> Par exemple dans P, 1 = exp(i*0) ≠ exp(2iπ).
>>> Cela permet de définir la fonction log dans P définie pour tout z dans P de 
>>> façon univoque
>>> comme P(z) = ln(ρ) + i.θ avec z = ρ.e^(i.θ).
>>> À vérifier rigoureusement, mais dans ce cas on devrait avoir pour tout nombre 
>>> z dans P et x, y dans C l'égalité (z^x)^y = z^(x*y).
>>> La multiplication aurait les mêmes propriétés que dans C, par contre comment 
>>> pourrait on définir l'addition de deux complexes z1 et z2 qui seraient égaux dans 
>>> C mais pas dans P ?
>>> Par exemple que vaudrait z = 1 + exp(2iπ) ?
>> 
>> Intuitivement je dirai que la phase de z vaut la somme des phases de z1 et z2 ?
>> Comment vérifier que cela forme une structure algébrique cohérente ?
> 
> Je réponds donc à ma question, selon cette logique, on aurait donc :
> 
> 1 + exp(2iπ) =  1 exp(0iπ) + 1 exp(2iπ) =  2 exp(0iπ+2iπ) = 2 exp(2iπ)

Soit A = 1 et B = exp(2iπ) 

Tu arrives donc à A + B = 2B => A = B c'est-à-dire : exp(2iπ) = 1