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Message-ID: <Amxo7JJVvxJ_LuEfHgg_Ec7DgfY@jntp>
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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <10076t3$3nvm7$3@dont-email.me> <8EIpqsz4gfsiBsLm-EeGOJs7YQg@jntp>
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From: Richard Hachel <r.hachel@tiscali.fr>
Bytes: 4015
Lines: 59

Le 16/05/2025 à 19:52, Julien Arlandis a écrit :
> Le 16/05/2025 à 16:51, Python a écrit :
>> Le 16/05/2025 à 15:40, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 16/05/2025 à 14:31, Python a écrit :
>>>> Le 16/05/2025 à 14:05, Julien Arlandis a écrit :
>>>> ...
>>>>>>>> Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que 
>>>>>>>> z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
>>>>>>>> 
>>>>>>>> exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1
>>>>>>> 
>>>>>>> Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même 
>>>>>>> argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je 
>>>>>>> vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont 
>>>>>>> équivalents.
>>>>>> 
>>>>>> Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu 
>>>>>> normal pour un... angle)
>>>>> 
>>>>> L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la 
>>>>> notion d'angle disparait.
>>>> 
>>>> Définie de toutes les façons que tu veux, y compris par une série entière, 
>>>> il reste que z->exp(z) est périodique de période 2pi.
>>>> 
>>>>>>> Je vois deux approches possibles :
>>>>>>> 1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est 
>>>>>>> bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).
>>>>>> 
>>>>>> On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, 
>>>>>> deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques.
>>>>> 
>>>>> Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la 
>>>>> valeur -1 ?
>>>> 
>>>> -1 \in {-1, 1}
>>> 
>>> Je comprends pas comment tu peux obtenir la valeur -1 si tu valides cette 
>>> généralisation : 
>>> (a^x)^y = a^(x*y)
>>> Est ce que tu es d'accord avec exp(4iπ)^(1/2) = exp(4iπ*1/2) = exp(2iπ) = 1 ?
>> 
>> La série de vidéos qui suit celle que j'ai indiquée (en particulier 
>> https://www.youtube.com/watch?v=Lh6rHAiY9KE mais aussi les suivantes) éclaircit 
>> très bien le sujet.
>> 
>> Si on reste en multivalué il n'y a pas de problème : z^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) 
>> = exp(4iπ*1/2) = 
> 
> Oui
> 
>> {-1, 1},
> 
> Ben non, exp(4iπ*1/2) = exp(2iπ) = +1

J'arrête pas de lui dire, mais il m'insulte. 

Sniffff...

R.H.