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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <p_b_VeI8j5Fxwb3gmc_KL7OWMJY@jntp> <10076t3$3nvm7$3@dont-email.me>
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From: Python <jp@python.invalid>

Le 16/05/2025 à 16:51, Python a écrit :
> Le 16/05/2025 à 15:40, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 16/05/2025 à 14:31, Python a écrit :
>>> Le 16/05/2025 à 14:05, Julien Arlandis a écrit :
>>> ...
>>>>>>> Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que 
>>>>>>> z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
>>>>>>> 
>>>>>>> exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1
>>>>>> 
>>>>>> Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même 
>>>>>> argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je 
>>>>>> vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont 
>>>>>> équivalents.
>>>>> 
>>>>> Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu 
>>>>> normal pour un... angle)
>>>> 
>>>> L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la 
>>>> notion d'angle disparait.
>>> 
>>> Définie de toutes les façons que tu veux, y compris par une série entière, 
>>> il reste que z->exp(z) est périodique de période 2pi.
>>> 
>>>>>> Je vois deux approches possibles :
>>>>>> 1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est 
>>>>>> bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).
>>>>> 
>>>>> On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, 
>>>>> deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques.
>>>> 
>>>> Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la 
>>>> valeur -1 ?
>>> 
>>> -1 \in {-1, 1}
>> 
>> Je comprends pas comment tu peux obtenir la valeur -1 si tu valides cette 
>> généralisation : 
>> (a^x)^y = a^(x*y)
>> Est ce que tu es d'accord avec exp(4iπ)^(1/2) = exp(4iπ*1/2) = exp(2iπ) = 1 ?
> 
> La série de vidéos qui suit celle que j'ai indiquée (en particulier 
> https://www.youtube.com/watch?v=Lh6rHAiY9KE mais aussi les suivantes) éclaircit 
> très bien le sujet.
> 
> Si on reste en multivalué il n'y a pas de problème : z^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) 
> = exp(4iπ*1/2) = {-1, 1}, il y a deux points (z, 1 + 0i ) et (z, -1 + 0i) sur la 
> surface de Riemann de z->z^(1/2) et ce sont les mêmes quel que soit la façon 
> dont tu exprimes z en polaire. 
> 
> Si on tient à avoir une fonction monovaluée il faut faire un choix : se 
> restreindre à une partie de l'ensemble d'arrivée (pour z->z^(1/2), Re(z) > 0 
> convient, mais on peut faire d'autres choix) ce qui va introduire un choix sur la 
> phase modulo 2pi sur l'antécédent qui manifeste la coupure de branche (choix de 
> [-pi, pi] dans le cas de Re(z) > 0, la coupure étant alors la demi-droite des 
> réels négatifs, mais c'est la conséquence du choix initial). Avec ce choix la 
> valeur -1 est exclue dans tous les cas pour le résultat de z->z^(1/2). La règle 
> exp(i*theta*pi)^(1/2) = exp(i*theta*pi/2) reste valable à condition d'avoir pris 
> theta dans l'intervalle correspondant au choix de la coupure.

Ce qui est bien montré là (et justement pour w = z^(1/2)) :
https://www.youtube.com/watch?v=6ecPpRUTieg

C'est un choix *d'écriture* qui est fait sur l'antécédent z, pas un 
choix de valeur. Et c'est équivalent, cependant, à un choix de *valeurs* 
sur w.

Ce qui est logique ici, la surface de Riemann de z->z^(1/2) recouvre 
*deux* fois C, elle a deux feuillets.

Avec le log c'est carrément à une infinité dénombrable de feuillets.