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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3284
Lines: 36

Le 11/05/2025 à 21:26, efji a écrit :
> Le 11/05/2025 à 20:08, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :
>> 
>>> si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
>>>
>>> Comment n'arrives-tu pas à voir que sans cette implication AUCUNE 
>>> suite de calculs ne peut être logiquement fondée ? C'est tout 
>>> bonnement hallucinant.
>> 
>> Je n'ai pas lu la discussion mais j'interviens juste sur ce point qui 
>> m'a toujours interpelé lorsque l'on considère les nombres complexes sous 
>> forme polaire.
>> 
>> Soit f(x) = x^(1/2)
>> a = exp(2iπ) et b = exp(4iπ)
>> si a = b, peut on affirmer que f(a) = f(b) ?
> 
> La racine carrée n'est pas une fonction univoque. Dans \R on dit par 
> convention que le signe radical désigne la racine positive d'un nombre 
> réel positif. Dans \C c'est la même chose : il y a deux racines carrées 
> d'un nombre complexe, de signes opposés, mais la "détermination 
> principale" n'est pas aussi évidente que dans \R.
> 
> Dans ton exemple, les racines carrées de a sont ±exp(iπ) et celles de b 
> sont ±exp(2iπ), et, oh miracle, ce sont les mêmes :)

De ce que j’avais compris, la racine carrée de exp(2ikπ) dépend de la 
parité de k, ce qui se conçoit dans une représentation du plan complexe 
en feuillets de Riemann.
exp(2ikπ)^(1/2) = exp(2ikπ × 1/2) = exp(ikπ) = {+1 si k pair, -1 si 
impair}.
Sinon comment justifier la double valeur de la racine carrée pour des 
valeurs particulières de k, dans mon exemple 4 et 2 ?

Alors je reformule ma question avec f(x) = x^(1/3). Que valent dans ce cas 
f(a) et f(b) ?