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Subject: Re: =?UTF-8?Q?D=C3=A9finitions=20math=C3=A9matiques=20portant=20sur=20Log?= 
 =?UTF-8?Q?=20et=20sur=20e?=
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Le 20/05/2025 à 13:51, Richard Hachel a écrit :
> 
>  J'appelle Log x, le logarithme naturel de x.
> 
>  Log 1 = 0
> 
>  Log e = 1
> 
>  Je note la fonction exponentielle fonction simple de x : f(x)=e^x

Il n'y a strictement aucune définition ci-dessus, ni de Log ni de 
l'exponentielle.

>  Je constate que la rotation de 180° (π) de cette fonction me donne g(x) en 
> miroir de points symétriques 
> sur $(0, y₀) tel que g(x)=-e^(-x)+2 dont la racine est x'=i.Log2

Et alors ? x -> 2 - e^(-x) n'est pas la même fonction que x -> e^x

>  Log e^x = x

Dans R oui. Pas nécessairement dans C où Log est multivaluée :

Log(exp(x))=x+2iπk

>  e^Logx = x

Oui au sens où pour toutes les branches de Log on a un unique ensemble de 
valeur : {x} qu'on peut, sans grand risque, assimiler à x.

>  e^a * e^x = e^(a+x)

Oui, dans R comme dans C tout entier.

>  Log a + Log b = Log ab

Pour a,b dans R+* = ]0, +inf[, oui, En général dans C, non, sauf si le 
choix de branche pour le Log est tel que arg(a), arg(b) sont dans 
]−π,π] et aussi que arg(a+b) est dans ]−π,π]

>  Log a - Log b = Log (a/b)

Idem en substituant 1/b à b dans la règle ci-dessus.

>  Application pratique :
> 
>  e^Log4 = 4

Voir e^Log(x) plus haut.

>  1^Log4 = 1

Dans R oui. Dans C c'est la valeur principale. Il y en a une infinité :

e^(2*π*i*k*Log(4)) Pour k dans Z.

>  i^Log4 = ? ? ? 

exp(i*Log(4)*(π​/2+2πk))
Environ -0.57 + 0.82i pour la valeur principale.

>  e^(i.Log4) = ? ? ? 

Qu'on peut noter aussi 4^i : il y a une infinité de valeurs : 
exp(-2πk)*e^(i*Log(4))