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Subject: Re: 5^(3i)
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From: Python <jp@python.invalid>

Le 12/07/2025 à 15:50, Richard Hachel  a écrit :
> Le 12/07/2025 à 15:16, Python a écrit :
>> Le 12/07/2025 à 15:09, Python a écrit :
>>> Le 12/07/2025 à 15:05, Richard Hachel  a écrit :
>>>> Le 12/07/2025 à 14:46, Python a écrit :
>>>>> Le 12/07/2025 à 14:33, Richard Hachel  a écrit :
>>>> 
>>>>> Quant à ton sempiternel renvoi à la grotesque expression "trigonométrie 
>>>>> Gauss-Euler-Argand" c'est du flan : je t'ai montré, calculs à l'appui, que passer 
>>>>> par les nombres complexes au sens véritable du terme permet de trouver des racines 
>>>>> réelles de polynômes à coefficients réels.
>>>> 
>>>>  Déjà répondu cent fois. 
>>> 
>>> Non. Tu n'as en rien répondu. D'ailleurs pour une fois que tu posais une bonne 
>>> question "À quoi ça sert [d'introduire des nombres en plus des réels dans les 
>>> équations] ?" J'ai pris soin de te répondre en résolvant une équation sur 
>>> laquelle tu t'es contenté de dire "ouin ouin c'est difficile !" et d'utiliser un 
>>> programme pour avoir la solution (programme qui utilise certainement les nombres 
>>> complexe dans son algorithme).
> 
>  Si, bien sûr, j'ai répondu que tu avais raison, et que la façon utilisée 
> permettait de retrouver les racines réelles à partir des imaginaires connues, 
> par remontée inverse. 
> 
>  Mais j'ai répondu que c'était une technique, et que ce n'était pas les 
> vraies racines (la notion de "racine complexe" est absurde, chez moi, et ne fais 
> pas partie de l'algèbre analytique). 
>  
>> 
>> Exercice du week-end prolongé :
>> 
>> Trouver les racines réelle du polynôme.
>> 
>> x^6 + 74*x^5 - 12259*x^4 + 118050*x^3 - 488674*x^2 + 1015288*x - 916880
>> 
>> L'usage de l'ordinateur est interdit. 
> 
>  Non, non, c'est pas la peine, ordinateur ou pas. 
> 
>  Ce n'est pas sur ça qu'il y a désaccord. 
> 
>  Ce serait donc du temps perdu.
> 
>  Par contre, posons plutôt h(x)=f(x).g(x)
> 
>  h(x) est un polynôme de degré 4. 
> 
>  f(x)=x²-3x+2 a deux racines réelles.
> 
>  g(x)=x²+4x+5 a deux racines complexes (chez les mathématiciens), et deux 
> racines imaginaires (chez Hache). 
> 
>  Que devient h(x)? Quels sont ses racines? Il est clair que les racines réelles 
> sont conservées. 
> 
>  Et on aura bien x'=1 et x"=2 autant pour f(x) que pour h(x).
> 
>  Mais entre g(x) et h(x), les racines imaginaires sont différentes.
> 
>  Ce qu'il faut expliquer, c'est pourquoi, et sans tomber dans la facilité du 
> style "parce que tu penses mal, et nous on pense bien". 
> 
>  Il faudrait trouver une formule élégante qui fait retrouver les racines 
> réelles à partir des racines imaginaires pures (bien plus vraies et faciles à 
> utiliser que les complexes), et non les racines réelles à partir des racines 
> "complexes" qui seront désormais complétement inutiles pour les mathématiques 
> cartésiennes. 

Si on reprend un exemple similaire au tient, en partant de la forme 
développée :

Q. (3pts) Trouver les racines réelles de H = x^4 - 37*x^3 + 255*x^2 + 
1451*x + 2070

Hachel, bloqué comme une poule devant un coûteau, copie blanche : 0pt

Lycéen : je cherche des racines évidentes complexes (i.e. de la forme a 
+ bi ou a et b sont entiers relatifs et "petits")

Je trouve -2 + i et -2 - i après un petit nombres d'essais.

Donc (c'est la propriété clef de corps, i.e. anneau intègre de C et le 
fait qu'il soit algébriquement clos qui permet de démontrer ce 
résultat) :

H(x) = (x + 2 - i)*(x + 2 -i)*P(x)
H(x) = (x^2 + 4*x + 5)*P(x)

On peut diviser H(x) par x^2 + 4*x + 5, tu ne l'as sans doute pas étudié 
à l'école mais il n'est jamais trop tard : c'est le même principe que 
la division d'entiers que tu as apprise à l'école primaire.

On trouve (facilement) : P(x) = x^2 - 41*x + 414 

Dont on sait facielement déterminer les racines (réelles ici : 18 et 
23).

Évaluation du lycéen : 3pts, rappel de celle de Hachel/Legrume : 0pt

C'est au pied du mur qu'on voit le maçon : tes machins "imaginaires purs" 
qui ne sont en rien des racines, ne sont pas "bien plus vraies et faciles 
à utiliser que les complexes", elle ne mènent nulle part, c'est ton 
machin qui est "complètement inutile".