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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <4H07lJCIpz7FJwCO01QTjJRcyME@jntp> <iMUqosQkiKrCqmL74lI8zuMwy-Q@jntp>
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Newsgroups: fr.sci.maths
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>

Le 21/05/2025 à 20:02, Julien Arlandis a écrit :
> Le 21/05/2025 à 17:43, Python a écrit :
>> Le 21/05/2025 à 17:39, Richard Hachel a écrit :
>>> Le 21/05/2025 à 17:33, Python a écrit :
>>>> Le 21/05/2025 à 17:04, Julien Arlandis a écrit :
>>>>> Le 21/05/2025 à 16:44, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>> Le 21/05/2025 à 09:03, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>> Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :
>>>>>>>> Le 20/05/2025 à 09:21, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :
>>>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 16:18, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 12:38, Python a écrit :
>>>>>>>>>>>> [correction d'une erreur à la fin]
>>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>>>>>> Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :
>>>>>>>>>>>> ...
>>>>>>>>>>>>>> si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
>>>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>>>> Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais 
>>>>>>>>>>>>> difficile à justifier.
>>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>>> Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
>>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>>> Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un 
>>>>>>>>>>>> certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce terme 
>>>>>>>>>>>> a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une intégrale, par 
>>>>>>>>>>>> exemple, et b une somme de série).
>>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>>> Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a 
>>>>>>>>>>>> dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute identité, 
>>>>>>>>>>>> inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle manipulation. 
>>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>>> Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que exp(x)^y = 
>>>>>>>>>>> exp(x*y)
>>>>>>>>>>> et en même temps que 
>>>>>>>>>>> exp(4iπ*1/2) = 1 = exp(2iπ*1/2) = -1
>>>>>>>>>>> Pour le moment personne n'a apporté de réponse claire et intelligible.
>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>> Comment ça "sauf" ? ?  Ça n'a rien à voir avec ton post ni avec ma réponse. 
>>>>>>>>>> Ni avec ta contestation, assez sidérante, que a = b => f(a) = f(b) est faux ou que des 
>>>>>>>>>> valeurs égales sont différentes.
>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>> Et tu zappes toute la partie où j'explique que la notion de n-ième décimale 
>>>>>>>>>> d'un réel n'est pas une notion univoque, en général, et que l'argument sur la 1ère 
>>>>>>>>>> décimale de 1 et 0.999... ne tient pas une seconde (je prépare un pdf sur cet argument 
>>>>>>>>>> qui m'avait interpelé à l'époque de "Joe Cool" alias Zaroueli qui utilisait le même).
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Je reprendrai cette partie plus tard, mais avant je voudrais éclaircir ma 
>>>>>>>>> question initiale. Je reprends point par point.
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Sur ce point la question est pliée et j'ai indiqué tous les détails (à une 
>>>>>>>> ou deux fautes évidente de typo). En résumé : pour certains nombres réels x (i.e. une 
>>>>>>>> classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels) il existe deux 
>>>>>>>> représentants distincts (deux suites de rationnels) qui correspondent au concept de 
>>>>>>>> "décimales de x" et donc l'expression "la première décimale de x" ne décrit pas 
>>>>>>>> toujours une valeur univoque.
>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Es tu d'accord que (réponse par OUI/NON + arguments) : 
>>>>>>>>> 1) exp(x)^y = exp(x*y) 
>>>>>>>> 
>>>>>>>> [exp(x)]^y = e^(y⋅log(exp(x))) = ...
>>>>>>>> 
>>>>>>>> -> attention log(exp(x)) n'est x que sur une branche du log, en général : 
>>>>>>>> log(exp(x)) = x+2iπk, donc :
>>>>>>>> 
>>>>>>>> ... = e^(y(x+2iπk))=e^(xy)⋅e^(2iπky)
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Donc non, sauf si y \in Z ou si on choisit la branche k=0 du logarithme
>>>>>>> 
>>>>>>> Une idée en passant. Ne pourrait on pas construire un ensemble plus large que 
>>>>>>> les complexes (on va l'appeler P) où chaque complexe se verrait attribuer une phase qui 
>>>>>>> pourrait prendre ses valeurs dans R.
>>>>>>> Par convention, quand la phase n'est pas explicitée elle vaut 0 et l'argument 
>>>>>>> spécifié dans la forme polaire sinon.
>>>>>>> Par exemple dans P, 1 = exp(i*0) ≠ exp(2iπ).
>>>>>>> Cela permet de définir la fonction log dans P définie pour tout z dans P de 
>>>>>>> façon univoque
>>>>>>> comme P(z) = ln(ρ) + i.θ avec z = ρ.e^(i.θ).
>>>>>>> À vérifier rigoureusement, mais dans ce cas on devrait avoir pour tout nombre 
>>>>>>> z dans P et x, y dans C l'égalité (z^x)^y = z^(x*y).
>>>>>>> La multiplication aurait les mêmes propriétés que dans C, par contre comment 
>>>>>>> pourrait on définir l'addition de deux complexes z1 et z2 qui seraient égaux dans C 
>>>>>>> mais pas dans P ?
>>>>>>> Par exemple que vaudrait z = 1 + exp(2iπ) ?
>>>>>> 
>>>>>> Intuitivement je dirai que la phase de z vaut la somme des phases de z1 et z2 ?
>>>>>> Comment vérifier que cela forme une structure algébrique cohérente ?
>>>>> 
>>>>> Je réponds donc à ma question, selon cette logique, on aurait donc :
>>>>> 
>>>>> 1 + exp(2iπ) =  1 exp(0iπ) + 1 exp(2iπ) =  2 exp(0iπ+2iπ) = 2 exp(2iπ)
>>>> 
>>>> Soit A = 1 et B = exp(2iπ) 
>>>> 
>>>> Tu arrives donc à A + B = 2B => A = B c'est-à-dire : exp(2iπ) = 1
>>> 
>>> Et une hirondelle est une hirondelle.
>> 
>> Tu as raté (pour changer) le point : Le point de départ de Julien était de 
>> considérer que exp(2iπ) ≠ exp(i*0) = 1.
> 
> En fait exp(2iπ) = 1 + 0 exp(2iπ)

Et plus généralement :

cos(x + 2kπ) = cos(x) + 0 cos(2kπ) avec k \in Z
et 0 cos(2kπ) ≠ 0 dans P.

>> Tu souffres d'un profond manque de capacité d'attention et de concentration.