Path: news.eternal-september.org!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.gegeweb.eu!gegeweb.org!pi2.pasdenom.info!from-devjntp
Message-ID: <S05cPorHx2WQyQPFYvrc8fx-Wkg@jntp>
JNTP-Route: nemoweb.net
JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <eyqwnk8OnyYlFC5e9rw_z7I8KVI@jntp> <Glv7NdfpgvXDtj4-OOnU4AJINxw@jntp>
 <VTrDAEZoMA0RsSI1D60KO9gPO_s@jntp> <diaJi9aeGnz6qnH4nOof8bpv3TQ@jntp> <10076j0$3nvm7$1@dont-email.me>
 <p_b_VeI8j5Fxwb3gmc_KL7OWMJY@jntp> <10076t3$3nvm7$3@dont-email.me> <8EIpqsz4gfsiBsLm-EeGOJs7YQg@jntp>
 <fExM6dPshysVP6Aowm41vyJeass@jntp>
Newsgroups: fr.sci.maths
JNTP-HashClient: GX2k23w6EsBLNxbHj7kLqb0uKAQ
JNTP-ThreadID: UO5aBGj8dCTWrv33spw4emlnKjs
JNTP-ReferenceUserID: 1@nemoweb.net
JNTP-Uri: https://www.nemoweb.net/?DataID=S05cPorHx2WQyQPFYvrc8fx-Wkg@jntp
User-Agent: Nemo/1.0
JNTP-OriginServer: nemoweb.net
Date: Fri, 16 May 25 11:47:52 +0000
Organization: Nemoweb
JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:128.0) Gecko/20100101 Firefox/128.0
Injection-Info: nemoweb.net; posting-host="71962ec0b262db26e9002693f4d52627a6dd14a2"; logging-data="2025-05-16T11:47:52Z/9312654"; posting-account="190@nemoweb.net"; mail-complaints-to="julien.arlandis@gmail.com"
JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1
JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96
From: Python <jp@python.invalid>

Le 16/05/2025 à 13:41, Julien Arlandis a écrit :
> Le 16/05/2025 à 13:32, Python a écrit :
>> Le 16/05/2025 à 13:17, efji a écrit :
>>> Le 16/05/2025 à 13:17, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Le 16/05/2025 à 13:12, efji a écrit :
>>>>> Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>
>>>>>>
>>>>>> C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en 
>>>>>> a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale 
>>>>>> qui relève de l'arbitraire pur.
>>>>>>
>>>>>
>>>>> Je n'ai pas dit ça.
>>>>> J'ai juste dit qu'il y avait deux racines de l'unité dans \C (qui sont 
>>>>> réelles en l'occurrence) comme il y a n racine niemes de l'unité.
>>>>> Ensuite, quand on a une expression écrite de cette façon dans un 
>>>>> calcul, exp(2iπ)^(1/2), alors le résultat est simplement exp(iπ) = -1.
>>>> 
>>>> Donc exp(2iπ)^(1/2) ≠ exp(4iπ)^(1/2) ?
>>>> Oui ou non ?
>>> 
>>> oui
>> 
>> Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que 
>> z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans 
>> P(Z)
>> 
>> exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1
> 
> Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même 
> argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les 
> exposants, je vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les 
> deux nombres sont équivalents.

Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un 
peu normal pour un... angle)

> Je vois deux approches possibles :
> 1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est 
> bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).

On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux 
côtés, deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus 
identiques.

> 2) on considère que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est 
> monovaluée et dans ce cas la on peut généraliser (a^x)^y = a^(x*y) à x et y 
> complexes.

Il est totalement impossible de considérer que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) ! 
Les deux expressions qualifient exactement la même classe d'équivalence 
dans C = R[X]/(X^2 + 1) à savoir celle du polynôme constant 1 !

>> En ne perdant pas de vue la multivaluation de z->z^(1/2)
>> 
>> exp(2iπ)^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = 1^(1/2) = { -1, 1 }
> 
> C'est bizarre d'écrire ça, on peut construire aucune arithmétique avec un 
> truc pareil non ?

Qu'est-ce que tu appelles "arithmétique" dans ce contexte ?