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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3313
Lines: 58

Le 20/12/2021 à 21:36, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 20/12/2021 à 21:07, Julien Arlandis a écrit :
>> 
>> J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour 
>> lesquelles le logarithme était multivalué.
> 
> Ben c'est tout con: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y = 
> exp(x).
> 
>> Est ce une convention 
> 
> non
> 
>> ou y a t-il une raison plus profonde ? 
> 
> heu, oui.. mais c'est tout con: l'argument d'un complexe n'est défini 
> qu'à 2pi-près.
> 
> 	https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
> 
> En outre la fonction ln() n'est pas continue sur l'ensemble du plan 
> complexe. En fait je crois qu'elle n'est pas méromorphe.
> 	
> 	https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe
> 
> La présence des 2pi.i apparait quand tu fais des intégrales suivant une 
> courbe sur le plan complexe. Les pôles d'ordre 1 (les trucs en 1/x sous 
> l'intégrale) apportent 2pi.i à chaque tour dans le sens (anti?)horaire 
> de l'intégrale autour de ce pole il me semble. C'est un grand classique 
> du filtrage continu cette histoire là si j'ai bonne mémoire.
> 
>> Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle pas multivaluée
> 
> Ben si elle l'est: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y=x² 
> dans R: +/- sqrt(x).
> 
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivalu%C3%A9e#La_racine_carr%C3%A9e 
> ;)
> 
> Tiens d'ailleurs est-ce que i c'est sqrt(-1) ou -sqrt(-1) ? ;)
> 
> sam.

Cette fois je suis vraiment perdu.
Si je dois évaluer sqrt(1), je vois 2 possibilités :

1) sqrt(1) = 1^(1/2) 
           = exp(1/2*ln(1)) 
           = exp(1/2*0)
           = exp(0)
           = 1

2) sqrt(1) = 1^(1/2)
           = (exp(2*i*k*pi))^(1/2)
           = exp(1/2*ln(exp(2*i*k*pi)))
           = exp(1/2*2*i*k*pi)
           = exp(i*k*pi)
           = 1 ou -1