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Le 16/01/2025 à 15:55, Richard Hachel  a écrit :
> Le 16/01/2025 à 15:32, Python a écrit :
>> Le 16/01/2025 à 12:46, Richard Hachel  a écrit :
> 
>> On VEUT que i soit tel que i^2 = -1 quand on construit le corps des nombres 
>> complexe.
> 
>> (a + bi)*(a' + b'i) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i
> 
>> C'est une nécessité LOGIQUE, n'importe quoi d'autre NE MARCHE PAS.
> 
>  Ca ne nous dit toujours ce que vaut i.

Si ! Encore une fois (tu es bouché ou quoi ?) : i est la classe 
d'équivalence du polynôme
X dans R[X]/(X^+1)

>  Du moins pas clairement.

Si la définition ci-dessus n'est pas claire *pour toi* n'hésite pas à 
demander.

>  On dit : l'unité imaginaire est définie par la propriété suivante : i²=-1.
> 
>  Ce n'est pas une description directe, ni cela n'explique pas pourquoi.

La description que je t'ai donnée plus haut est tout ce qu'il y a de 
directe.

i^2 = -1 N'est PAS la définition ! C'est l'OBJECTIF de la construction de 
C.

>  On donne un fait... On ne précise pas à quoi ça pourrait correspondre dans 
> l'esprit. 

Si, voir plus haut.

>  On dit : Cela signifie que i est une solution de l'équation quadratique : 
> x²+1=0
> 
>  Tu parles d'une révélation méritant le Nobel. 

Ce qui est méritant c'est d'avoir trouvé un ensemble cohérent qui 
généralise R et où
x^2 + 1 est factorisable en polynômes de degré 1 (x-i et x+i) et, cerise 
sur le
gâteau : TOUT polynôme y est ainsi généralisable.

>  On dit : Un nombre complexe est généralement écrit sous la forme : z=a+ib 
> où :
> 
>  a est la partie réelle,
> 
>  b est la partie imaginaire,
> 
>  i est l'unité imaginaire.
> 
>  On ajoute z=3+4i, alors : la partie réelle est 3, la partie imaginaire est 4, 
> et 4i indique que 4 est multiplié par l'unité imaginaire.
> 
>  Mais bon, ça ne nous dit toujours pas ce que c'est que i, et comment on 
> pourrait le définir plus précisément, notamment pour les jeunes qui entrent au 
> lycée, et qui doivent se contenter des définitions
> moyennement claires si dessus.

Je viens de te dire pour la centième fois que i est fort précisément 
défini. De même pour a et b !
(ce sont les coefficients du membre d'une classe d'équivalence dans 
R[X]/(X^2+1) qui est de
degré 1 : bX + a.

Au lycée on présente rarement une définition (parfois celle avec des 
matrices qu'évoque efji), on demande juste d'admettre que "ça marche". 
C'est peut être dommage puisque la division euclidienne de polynôme y 
est (je crois) enseignée (et que c'est la base de la relation 
d'équivalence qui définit C). Le problème est que la notion de classe 
d'équivalence n'est plus (je crois) enseignée avant le bac. De mon temps 
(derniers temps des maths dites "modernes") c'était enseigné en classe 
de quatrième.