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Subject: Re: Comment trouver des racines complexes =?UTF-8?Q?coh=C3=A9rentes=3F=20?=
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From: Python <jp@python.invalid>
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Le 01/03/2025 à 15:16, Python a écrit :
> Le 01/03/2025 à 14:58, Python a écrit :
>> Le 01/03/2025 à 13:40, Olivier Miakinen a écrit :
>>> Le 28/02/2025 15:24, Richard Hachel a écrit :
>>>> Nous allons tenter de découvrir les racines complexes de l'équation 
>>>> f(x)=x²-2x+8. 
>>> 
>>> Cette question est en principe très simple, et en l'occurrence les deux
>>> racines complexes se trouvent être toutes les deux dans ℝ (comme 
>>> sous-ensemble
>>> de ℂ), et même dans ℤ (comme sous-ensemble de ℚ, de ℝ et de ℂ).
>>> 
>>> Mais dans le titre de l'article tu avais écrit :
>>>> Comment trouver des racines complexes cohérentes?
>>> 
>>> Ceci sous-entend que, pour toi, les solutions que trouverait toute personne
>>> sensée ne sont par définition pas « cohérentes ». Et en effet, selon ta
>>> « logique » toute particulière, toi qui refuses les définitions cohérentes
>>> de ℂ et proposes à la place des résultats incohérents tels que i² = i⁴ = 
>>> −1,
>>> on peut comprendre que ça ne te convienne pas.
>>> 
>>> Ta « logique » est tout à fait similaire à celle d'Andrea Sorrentino alias
>>> Socratis, dont le « i » était égal à 1/10, mais avec i² = i³ = i.
>>> 
>>> Ceci sera donc ma seule intervention dans ce fil de discussion surréaliste.
>>> Je ne te plonke pas complètement néanmoins, car j'aime bien les problèmes
>>> d'échecs que tu poses parfois dans fr.rec.jeux.echecs. Tu devrais te limiter
>>> à cet autre groupe et ne pas continuer sur fr.sci.maths.
>> 
>> Ce benêt joue au échec ? Il y change les règles en milieu de partie aussi et 
>> prétend que les règles usuelles sont "incohérentes" ?
>> 
>> Blague à part, j'ai un peu cherché si la structure que Hachel proposait au 
>> départ avec ces règles de multiplication : (a, b)*(a', b') = (aa'+bb', ab'+a'b) 
>> n'avait pas déjà été étudiée. Étant donné que c'est clairement un anneau 
>> (mais pas un corps puisqu'il y a des diviseurs de zéro) c'était probable.
>> 
>> Et bien c'est le cas ! Ça s'appelle l'ensemble des nombres complexes déployés 
>> (en anglais : "split-complex numbers") :
>> 
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe_d%C3%A9ploy%C3%A9
>> 
>> Je suis tombé dessus en regardant une vidéo de Michael Penn :
>> 
>> https://www.youtube.com/watch?v=r5mccK8mNw8&t=6s
>> 
>> Il y démontre qu'il n'y a que trois R-algèbres commutatives sur R^2 :
> 
> Erratum : *associatives*
> 
>> - Les duaux R(epsilon) avec epsilon^2 = 0 (i.e. R[X]/X^2) 
>> - Les complexes R(i) avec i^2 = -1 (i.e. R[X]/(X^2 + 1)
>> - Les nombres complexes déployés ou "fendus" R(j) avec j^2 = 1 (i.e. R[X]/(X^2 
>> - 1))
>> 
>> Seuls les complexes forment un corps parmi ces trois possibilités. Ils ont tout 
>> trois aussi une représentation matricielle.
>> 
>> Ce qui fera plaisir à Hachel, est que ces nombres complexes déployés 
>> permettent de façon naturelle d'exprimer les transformations de Lorentz puisque 
>> ses isométries sont les rotations hyperboliques.
>> 
>> On y trouve un analogue à l'identité d'Euler e^(i*theta) = cos(theta) * 
>> i*sin(theta) qui est :
>> e^(j*theta) = cosh(theta) + j*sinh(theta) 
>> 
>> Notez bien que si R(j) correspond à la première structure proposée par 
>> Hachel, ça ne correspond pas du tout avec sa seconde proposition d'introduire un 
>> élément tel que i^2 = i^4 = -1 qui, comme il lui a été signalé ici et sur 
>> sci.math) mène à des contradictions immédiates.
>> 
>> Il est aussi tout à fait absurde de prétendre, comme il l'a fait avant de 
>> partir sur une autre idée incohérente (i^4 = i^2 = -1), qu'une de ces trois 
>> structures serait la "bonne" et les autres les "mauvaises". 
>> 
>> Bref, Hachel avait une idée qui, pour une fois, n'était pas absurde. 
>> Curieusement il l'a abandonnée pour une autre totalement incohérente et 
>> contradictoire.

Ironie de l'histoire, la structure R(j) que Hachel a redécouverte permet 
de représenter l'espace-temps de... Minkoswki :

Ils sont mentionnés comme tels dans plusieurs traités de RR, et dans cet 
article disponible en ligne (hélas les toutes les figures n'apparaissent 
pas, en tout cas pas avec Firefox ou Evince) :

http://garretstar.com/secciones/publications/docs/HYP2.PDF

C'est comme si un vampire découvrait l'ail :-) Bon, en même temps, même 
sans connaître R(j) (Clifford, 1848 !) tout le monde ici connaît le lien 
entre rotation hyperbolique et les transformations de Lorentz, que ceci 
illustre.

Bravo, Richard, pour ta contribution à l'espace-temps de Minkowski, même 
si elle arrive un peu tard :-)))

(suivi fr.sci.physique)