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From: Richard Hachel <r.hachel@tiscali.fr>

Malgré la présence de deux bouffons qui plombent un peu la convivialité 
de ce forum, 
nous allons tout de même tenter de progresser.

La question d'hier était : "Que devient (-i)^x en algèbre?"

C'est évidemment une question intéressante.

Nous avons dit, et tout le monde l'aura compris qu'en algèbre imaginaire, 
i^x=-1 quelque soit x réel.
i^x=-1, i^(-x)=-1, i^(0)=-1, i^Logx=-1, i^26587=-1, i^(-12)=-1.

On peut alors chercher ce que vaut (-i)^x. Mais nous allons d'abord passer 
par (-1)^x.

(-1)^0=-1, (-1)^1=-1, (-1)^2=1, (-1)^3=-1, (-1)^4=1

Cela parait correct. 

On remplace par -i, pour voir.

(-i)^0=-1, (-i)^1=1, (-i)^2=-1, (-i)^3=1, (-i)^4=-1

On aime ou on n'aime pas, mais on ne peut que voir la logique interne. 

On voit surtout (sauf pour les deux lascars) que (-i) et (-1) donnent 
systématiquement des résultats inversés, comme c'était déjà la cas 
pour (1) et (i). 

Mais un problème va se poser, qu'en est-il pour les quotients, par 
exemple pour (-1)^(3/2)?

On voit qu'ici un problème surgit. Il y a un nombre pair au 
dénominateur. On élève au cube, et on obtient provisoirement (-1)^3=-1, 
mais il faut ensuite tirer la racine carrée d'un négatif.

Le problème survient donc pour les fractions à dénominateur pair.

On a compris que pour tout x, (-i)^x = -(-1)x.

Il suffit donc de trouver l'un pour déterminer l'autre.

Proposons des dénominateurs impairs pour le quotient x.

(-1)^(2/3) = racine cubique se +1 ; soit = 1

(-1)^(5/3) = idem.

 On passe de (-1) à (-i) :

Pour tout (-i)^x, on a donc (-i)^x= -1 si le quotient de x est impair. 
Facile.

Si le dénominateur du quotient est pair, on a une indétermination. Que 
vaut (-i)^(3/2)? 

Je vous laisse à vos réflexions.

R.H.