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Subject: Re: Racines multiples
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>

Le 18/05/2025 à 10:26, Michel Talon a écrit :
> Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :
>> Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que 
>> exp(x)^y = exp(x*y)
> 
> Cette formule n'a pas une validité *générale*.  Elle est certainement 
> vraie pour x réel et n entier, voir par ex.
> https://www.maths-et-tiques.fr/telech/ExpoTS.pdf
> mais tu veux l'appliquer avec x=2i pi complexe et y = 1/2 où elle est 
> fausse.
> En fait sqrt(exp(2 i pi)) est définie par prolongement le long du cercle 
> exp(i theta)

Enfin un début de réponse.
Donc selon toi l'égalité exp(2*i*pi)^(1/2) = exp(i*pi) n'est pas valide 
?
Ne pourrait on pas considérer que exp(2*i*pi) et exp(4*i*pi) ne sont pas 
des nombres équivalents et dans ce cas il n'y aurait plus aucun problème 
à généraliser exp(x)^y = exp(x*y) ?

> ce qui fait changer de feuillet et donc on obtient -1. Tandis que sqrt( 
> exp(4 i pi)) on fait  2 tours sur le cercle, on revient au feuillet 
> initial et on trouve +1.  Note que
> 4 i pi = 2 (2 i pi) et on a bien (-1)^2=+1  donc pas de contradiction 
> ici. Plus
> généralement quand on définit a^x=exp(x log(a)) on suppose que x est 
> réel et a
> réel positif, sinon il ne faut pas oublier que pour a complexe, log(a) 
> est multivalué
> et donc il faut considérer soigneusement les déterminations. Pour x 
> rationnel il y a un nombre fini de possibilités, pour x irrationnel  ...