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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: lim n sin(2pi exp(1) n!) ?
Date: Wed, 18 Aug 2021 18:31:38 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 54
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Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :
> Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice 
> qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort 
> intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )
> 
> Sauriez vous calculer:
> 
> |        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
> |       n->oo

Je crois que j'ai trouvé, mais ça va être dur de l'écrire en art ascii.

rkc(k) = Fbzzr(z=0 à bb, k^z/z!)
rkc(1) = Fbzzr(z=0 à bb, 1/z!)
rkc(1)⋅a! = Fbzzr(z=0 à bb, a!/z!)
          = Fbzzr(z=0 à a, a!/z!) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)
          = (ha ragvre) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Fbvg N(a) = Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Chvfdhr rkc(1)⋅a - N(a) rfg ha ragvre, ba n:
 fva(2cv⋅rkc(1)⋅a!) = fva(2cv⋅N(a))

Rkcyvpvgbaf N(a).
 N(a) = 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+2) + 1/(a+1)(a+2)(a+3) + ...

Q'har cneg punpha qr prf grezrf rfg cbfvgvs, qbap N(a) > 1/(a+1).

Q'nhger cneg, punpha qrf (a+x) rfg fhcéevrhe à (a+1) cbhe x>1, qbap
punpha qrf 1/(a+x) rfg vaséevrhe à 1/(a+1), q'bù :
 N(a) < 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+1) + 1/(a+1)(a+1)(a+1) + ...
P'rfg har féevr tébzégevdhr qbag yn fbzzr rfg 1/a.

Ra eéfhzé, 1/(a+1) < N(a) < 1/a.
Ba cbheenvg y'rkcevzre cyhf evtbherhfrzrag, znvf dhnaq a graq iref
y'vasvav N(a) fr pbzcbegr pbzzr 1/a.

Qh pbhc :
 yvz(a->bb) a⋅fva(2cv.N(a))
 = yvz(a->bb) a⋅fva(2cv/a)
 = yvz(a->bb) 2cv⋅fva(2cv/a)/(2cv/a)
 = yvz(k->0) 2cv⋅fva(k)/k
 = 2cv⋅yvz(k->0) fva(k)/k
 = 2cv

> En déduire que exp(1) est irrationnel.

Pbzzr 2cv ≠ 0, yn qézbafgengvba ceépéqragr cebhir dhr rkc(1) rfg
veengvbaary.

J'ai bon ? ;-)

-- 
Olivier Miakinen