Path: ...!weretis.net!feeder6.news.weretis.net!4.us.feeder.erje.net!2.eu.feeder.erje.net!feeder.erje.net!fdn.fr!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail
From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Attention=2c_r=c3=a9ponse_en_clair_!_[Re:_lim_n_sin=282pi?=
 =?UTF-8?B?IGV4cCgxKSBuISkgP10=?=
Date: Wed, 18 Aug 2021 20:26:36 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 98
Message-ID: <sfjjcs$i1e$1@cabale.usenet-fr.net>
References: <sfj1mc$1bll$1@gioia.aioe.org>
NNTP-Posting-Host: 132.184.116.78.rev.sfr.net
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1629311196 18478 78.116.184.132 (18 Aug 2021 18:26:36 GMT)
X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net
NNTP-Posting-Date: Wed, 18 Aug 2021 18:26:36 +0000 (UTC)
User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101
 Firefox/60.0 SeaMonkey/2.53.1
In-Reply-To: <sfj1mc$1bll$1@gioia.aioe.org>
Bytes: 3885

Salut,

J'ai déjà répondu en ROT-13, et en deux messages, mais ce n'est pas
très pratique à lire. Du coup voici ma réponse en clair et en un seul
message. Attention, ne lisez pas la suite si vous ne voulez pas vous
divulgâcher ma solution.


Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :
> Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice 
> qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort 
> intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )
> 
> Sauriez vous calculer:
> 
> |        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
> |       n->oo
> 
> En déduire que exp(1) est irrationnel.

...........

..........

.........

........

.......

......

.....

....

...

..

==================================================================
Première partie de la démonstration :
|        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
|       n->oo
==================================================================

exp(x) = Somme(m=0 à oo, x^m/m!)
exp(1) = Somme(m=0 à oo, 1/m!)
exp(1)⋅n! = Somme(m=0 à oo, n!/m!)
          = Somme(m=0 à n, n!/m!) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)
          = (un entier) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Soit A(n) = Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Puisque exp(1)⋅n - A(n) est un entier, on a:
 sin(2pi⋅exp(1)⋅n!) = sin(2pi⋅A(n))

Explicitons A(n).
 A(n) = 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ...

D'une part chacun de ces termes est positif, donc A(n) > 1/(n+1).

D'autre part, chacun des (n+k) est supérieur à (n+1) pour k>1, donc
chacun des 1/(n+k) est inférieur à 1/(n+1), d'où :
 A(n) < 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+1) + 1/(n+1)(n+1)(n+1) + ...
C'est une série géométrique dont la somme est 1/n.

En résumé, 1/(n+1) < A(n) < 1/n.
On pourrait l'exprimer plus rigoureusement, mais quand n tend vers
l'infini A(n) se comporte comme 1/n.

Du coup :
 lim(n->oo) n⋅sin(2pi.A(n))
 = lim(n->oo) n⋅sin(2pi/n)
 = lim(n->oo) 2pi⋅sin(2pi/n)/(2pi/n)
 = lim(x->0) 2pi⋅sin(x)/x
 = 2pi⋅lim(x->0) sin(x)/x
 = 2pi

==================================================================
Deuxième partie de la démonstration :
En déduire que exp(1) est irrationnel.
==================================================================

Supposons que exp(1) soit rationnel. On peut alors l'écrire exp(1)=a/b.
On a alors exp(1)×b! = a×(b-1)! qui est un entier, et pour tout n > b
exp(1)×n! = a×(b-1)!×(b+1)×...×n qui est aussi un entier. Par conséquent
à partir de n=b on a toujours n sin(2pi exp(1) n!) = 0, et la limite
vaut 0.

Or on a vu que cette limite vaut 2pi et non 0. L'hypothèse qui est
contredite est celle selon laquelle exp(1) serait rationnel.

En conclusion, exp(1) est irrationnel. CQFD.


-- 
Olivier Miakinen