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JNTP-DataType: Article
Subject: Re: Racines multiples
References: <o6KyIry4wY-h7Jbpf_Zi0vOMeD4@jntp> <bOoo5N_S35YclI67GA6F5unEHoE@jntp> <KAt8ax2mouH_u131h5Rom1Rf9ws@jntp>
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Newsgroups: fr.sci.maths
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From: Richard Hachel <r.hachel@tiscali.fr>

Le 21/05/2025 à 17:33, Python a écrit :
> Le 21/05/2025 à 17:04, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 21/05/2025 à 16:44, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 21/05/2025 à 09:03, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :
>>>>> Le 20/05/2025 à 09:21, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>> Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :
>>>>>>> Le 17/05/2025 à 16:18, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 12:38, Python a écrit :
>>>>>>>>> [correction d'une erreur à la fin]
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>>> Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :
>>>>>>>>> ...
>>>>>>>>>>> si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
>>>>>>>>>> 
>>>>>>>>>> Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais 
>>>>>>>>>> difficile à justifier.
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un 
>>>>>>>>> certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce 
>>>>>>>>> terme a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une 
>>>>>>>>> intégrale, par exemple, et b une somme de série).
>>>>>>>>> 
>>>>>>>>> Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a 
>>>>>>>>> dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute 
>>>>>>>>> identité, inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle 
>>>>>>>>> manipulation. 
>>>>>>>> 
>>>>>>>> Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que exp(x)^y = 
>>>>>>>> exp(x*y)
>>>>>>>> et en même temps que 
>>>>>>>> exp(4iπ*1/2) = 1 = exp(2iπ*1/2) = -1
>>>>>>>> Pour le moment personne n'a apporté de réponse claire et intelligible.
>>>>>>> 
>>>>>>> Comment ça "sauf" ? ?  Ça n'a rien à voir avec ton post ni avec ma réponse. 
>>>>>>> Ni avec ta contestation, assez sidérante, que a = b => f(a) = f(b) est faux ou que des 
>>>>>>> valeurs égales sont différentes.
>>>>>>> 
>>>>>>> Et tu zappes toute la partie où j'explique que la notion de n-ième décimale 
>>>>>>> d'un réel n'est pas une notion univoque, en général, et que l'argument sur la 1ère 
>>>>>>> décimale de 1 et 0.999... ne tient pas une seconde (je prépare un pdf sur cet argument 
>>>>>>> qui m'avait interpelé à l'époque de "Joe Cool" alias Zaroueli qui utilisait le 
>>>>>>> même).
>>>>>> 
>>>>>> Je reprendrai cette partie plus tard, mais avant je voudrais éclaircir ma 
>>>>>> question initiale. Je reprends point par point.
>>>>> 
>>>>> Sur ce point la question est pliée et j'ai indiqué tous les détails (à une 
>>>>> ou deux fautes évidente de typo). En résumé : pour certains nombres réels x (i.e. 
>>>>> une classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels) il existe deux 
>>>>> représentants distincts (deux suites de rationnels) qui correspondent au concept de 
>>>>> "décimales de x" et donc l'expression "la première décimale de x" ne décrit pas 
>>>>> toujours une valeur univoque.
>>>>> 
>>>>>> Es tu d'accord que (réponse par OUI/NON + arguments) : 
>>>>>> 1) exp(x)^y = exp(x*y) 
>>>>> 
>>>>> [exp(x)]^y = e^(y⋅log(exp(x))) = ...
>>>>> 
>>>>> -> attention log(exp(x)) n'est x que sur une branche du log, en général : 
>>>>> log(exp(x)) = x+2iπk, donc :
>>>>> 
>>>>> ... = e^(y(x+2iπk))=e^(xy)⋅e^(2iπky)
>>>>> 
>>>>> Donc non, sauf si y \in Z ou si on choisit la branche k=0 du logarithme
>>>> 
>>>> Une idée en passant. Ne pourrait on pas construire un ensemble plus large que 
>>>> les complexes (on va l'appeler P) où chaque complexe se verrait attribuer une phase 
>>>> qui pourrait prendre ses valeurs dans R.
>>>> Par convention, quand la phase n'est pas explicitée elle vaut 0 et l'argument 
>>>> spécifié dans la forme polaire sinon.
>>>> Par exemple dans P, 1 = exp(i*0) ≠ exp(2iπ).
>>>> Cela permet de définir la fonction log dans P définie pour tout z dans P de 
>>>> façon univoque
>>>> comme P(z) = ln(ρ) + i.θ avec z = ρ.e^(i.θ).
>>>> À vérifier rigoureusement, mais dans ce cas on devrait avoir pour tout nombre 
>>>> z dans P et x, y dans C l'égalité (z^x)^y = z^(x*y).
>>>> La multiplication aurait les mêmes propriétés que dans C, par contre comment 
>>>> pourrait on définir l'addition de deux complexes z1 et z2 qui seraient égaux dans C 
>>>> mais pas dans P ?
>>>> Par exemple que vaudrait z = 1 + exp(2iπ) ?
>>> 
>>> Intuitivement je dirai que la phase de z vaut la somme des phases de z1 et z2 ?
>>> Comment vérifier que cela forme une structure algébrique cohérente ?
>> 
>> Je réponds donc à ma question, selon cette logique, on aurait donc :
>> 
>> 1 + exp(2iπ) =  1 exp(0iπ) + 1 exp(2iπ) =  2 exp(0iπ+2iπ) = 2 exp(2iπ)
> 
> Soit A = 1 et B = exp(2iπ) 
> 
> Tu arrives donc à A + B = 2B => A = B c'est-à-dire : exp(2iπ) = 1

Et une hirondelle est une hirondelle.

Merci quand même de ta participation. 

R.H.