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Path: ...!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re:_R=c3=a9solution_=c3=a9quation_avec_des_puissances?= Date: Thu, 27 Oct 2022 00:23:16 +0200 Organization: There's no cabale Lines: 54 Message-ID: <tjcc0k$1ik2$1@cabale.usenet-fr.net> References: <NCAqEkRum7eqs5-22lo2EDIOs4U@jntp> NNTP-Posting-Host: 220.12.205.77.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1666822996 51842 77.205.12.220 (26 Oct 2022 22:23:16 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Wed, 26 Oct 2022 22:23:16 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: <NCAqEkRum7eqs5-22lo2EDIOs4U@jntp> Bytes: 2534 Salut ! Le 26/10/2022 20:10, Samuel DEVULDER a écrit : > Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous > trouver tous les x,y réels tels que: > > 16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ? Déjà, chacun des deux termes de gauche est strictement positif. Pour que leur somme vale 1, il faut que chacun soit strictement plus petit que 1, donc que (x²+y) et (y²+x) soient tous les deux négatifs. On a alors : 0 < x² < -y 0 < y² < -x Pour ne pas m'embêter avec des nombres négatifs, je vais poser u=-x et v = -y. L'équation devient : 16^(u²-v) + 16^(v²-u) = 1. Sans perte de généralité, je vais supposer 0 < u ≤ v : à la fin, si on trouve une solution (x=-u, y=-v), on saura qu'il y a aussi la solution (x=-v, y=-u). Alors on a 0 < v² < u ≤ v, donc v² < v, ce qui n'est possible que si v < 1, et donc aussi u < 1. +--------------------+ | 0 < v² < u ≤ v < 1 | +--------------------+ Pour commencer, je vais chercher s'il existe des solutions avec u = v. Dans ce cas, l'équation se simplifie : 16^(u²-u) + 16^(u²-u) = 1 16^(u²-u) = 1/2 = 16^(-1/4) u²-u = -1/4 4u² - 4u + 1 = 0 (2u-1)² = 0 u = 1/2 x = y = -1/2 On vérifie : 16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 16^(1/4 - 1/2) + 16^(1/4 - 1/2) = 16^(-1/4) × 2 = (1/2) × 2 = 1 Il reste à savoir s'il peut exister des solutions où x est différent de y. J'aurais tendance à penser que non, du fait que l'équation 4u² - 4u + 1 = 0 admet une racine double. Mais c'est juste une intuition, pas une preuve. -- Olivier Miakinen