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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: [Spoiler + solution] Exercice plus difficile que le niveau 6e
Date: Thu, 27 Jul 2023 20:05:30 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 86
Message-ID: <u9ublb$aad$1@cabale.usenet-fr.net>
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NNTP-Posting-Date: Thu, 27 Jul 2023 18:05:31 +0000 (UTC)
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In-Reply-To: <u9s0u7$8s9$1@shakotay.alphanet.ch>
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Le 26/07/2023 22:50, jmathon a écrit :
> Le 26/07/2023 à 19:01, Olivier Miakinen a écrit :
>> ...
>> Par exemple, pour trois valeurs différentes, j'ai déjà trouvé neuf solutions
>> à 104 chiffres. Qui dit mieux ? Pourquoi pas Jacques, qui affirmait que ce
>> n'était pas possible ?
> 
> Il semblerait que mon idée de démonstration dans un espace borné ne soit 
> pas pertinente et que mon intuition se révèle erronée.
> 
> IL y a donc quelque chose qui cloche là-dedans, j'y retourne 
> immédiatement. ;-)

Ça y est, je sais maintenant qu'il y a des solutions quel que soit le nombre
de valeurs différentes (n1, n2, n3, ..., n100, ..., n100000, ...)

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Attention, ce qui suit contient pas mal de spoiler. Que ceux qui veulent
continuer à chercher s'abstiennent de lire la suite.
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Pour 2 valeurs n1 et n2, il y a des solutions dans lesquelles A est un nombre
de trois chiffres, à savoir tous les multiples de 101 (202, 303, ...) jusqu'à
909.

 101 = 100 + 1 = 91 + 10
 202 = 200 + 2 = 191 + 11
 ...
 909 = 900 + 9 = 891 + 18

Pour trois valeurs n1, n2 et n3, comme je le disais il y a des solutions dans
lesquelles A est un nombre de 104 chiffres. Ce nombre 104 n'est pas pris au
hasard, il vaut 10^2 + 4, c'est-à-dire 10^(3−1) + 3 + 1

Pour quatre valeurs n1, n2, n3 et n4, il y a des solutions dans lesquelles
A est un nombre de 10^103 + 105 chiffres.

Pour cinq valeurs n1, n2, n3, n4 et n5, il y a des solutions dans lesquelles
A est un nombre de 10^(10^103+104) + 10^103 + 106 chiffres.

D'une manière générale, soit la suite L(k) définie par récurrence :
 L(2) = 2
 L(k+1) = 10^(L(k)) + L(k) + 1  pour tout n ≥ 2
Alors j'ai des solutions pour k valeurs différentes (n1, n2, ..., nk), telles
que la longueur de A vaut L(k)+1

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Attention, ce qui suit contient maintenant la solution complète.
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Soit k le nombre de valeurs différentes que l'on souhaite (n1, n2, ... nk)
de telle sorte que chaque nombre additionné à la somme de ses chiffres
donne le même résultat A, voici comment obtenir un A de longueur L(k)+1
chiffres, ainsi que tous les n1 à nk. Je vais expliquer tout ça avec le
plus petit A possible de longueur L(k)+1, mais à la fin je vous dirai
comment en obtenir facilement huit autres.

Pour A, on prend 10^L(k) + 1. Le premier nombre n1 est tout simplement
10^L(k). Ce nombre est constitué d'un seul chiffre 1 et de 10^L(k)
chiffres 0, alors la somme des chiffres de n1 vaut 1, et on voit
facilement que n1 + 1 = A.

Pour trouver n2 à partir de n1, on soustrait de n1 la valeur 9×10^L(k−1).
Cette opération remplace le premier 1 par un zéro, puis les 10^L(k-1)
zéros suivants par des 9, et enfin le zéro suivant par un 1. La valeur
retirée au nombre est donc compensée par tous les chiffres 9 ajoutés,
tandis qu'un 1 retiré est compensé par un autre 1 ajouté.

Pour trouver maintenant n3 à partir de n2, on soustrait de n2 la valeur
9×10^L(k−2), ce qui a exactement le même effet que précédemment en
ajoutant une quantité de 10^L(k-2) chiffres 9.

Et on continue de proche en proche. L'avant-dernière opération retirera
900 qui est 9×10^L(2), et la dernière opération retirera 9. Le nombre
final est constitué de plein de séries de 9 séparées les unes des autres
par un unique 0, avant de finir par ...9999091 (l'avant-dernière suite
de 9, celle avant le 9 unique de 091, est consituée de cent chiffres 9).

Enfin, ce qui fonctionne avec n1 = 10^L(k) et A = n1 + 1 fonctionne
aussi si l'on remplace le 1 initial (et le 1 final de A) par n'importe
quel autre chiffre de 2 à 9. La méthode pour trouver les n2 à nk est
la même, il n'y a que le premier chiffre qui change.


-- 
Olivier Miakinen