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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_=5BMa_solution=5D_=C3=89quation_fonctionnelle?=
Date: Thu, 4 Jan 2024 10:12:54 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 54
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Injection-Date: Thu, 4 Jan 2024 09:12:54 -0000 (UTC)
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Bytes: 3211

Le 04/01/2024 à 10:02, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 02/01/2024 à 22:14, j'ai proposé :
>>
>> Le week-end dernier, sur la chaine youtube de Michael Penn, il y
>> avait une très jolie équation fonctionnelle. Je vous la soumets.
>>
>> Il s'agit de trouver toutes les fonctions f de ℝ dans ℝ vérifiant :
>>   ∀x∈ℝ, f(x) = max{2xy − f(y), y∈ℝ}
> 
> Ainsi que l'a écrit Samuel Devulder, la vidéo est ici :
> <https://www.youtube.com/watch?v=0T-IBs-qk54> (en anglais).
> 
> Voici ma propre solution, que je trouve un peu plus simple que la
> sienne (ceux qui comprennent l'anglais et regardent la vidéo pourront
> comparer).
> 
> Tout d'abord, j'ai reformulé l'équation sans utiliser max(), en disant
> que deux conditions doivent être vérifiées simultanément :
>   (1) ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ, f(x) ≥ 2xy - f(y)
>   (2) ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) = 2xy - f(y)
> 
> De la première condition, en choisissant y = x, on prouve que :
>   ∀x∈ℝ, f(x) ≥ x²
> 
> Il est facile de vérifier que la fonction définie par f(x) = x²
> convient. Pour voir si c'est la seule, je pose f(x) = x² + g(x).
> D'après la preuve précédente, on sait que ∀x∈ℝ, g(x) ≥ 0.
> 
> Je réécris alors la condition (2) en passant tout dans le membre
> de gauche :
>   ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) - 2xy + f(y) = 0
>   ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² + g(x)) - 2xy + (y² + g(y)) = 0
>   ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² - 2xy + y²) + g(x) + g(y) = 0
>   ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x - y)² + g(x) + g(y) = 0
> 
> Chacun des trois termes (x - y)², g(x) et g(y) est toujours supérieur
> ou égal à zéro. La seule possibilité pour que la somme soit nulle est
> que tous les trois soient nuls, en particulier que g(x) = 0, et ce
> quel que soit x.
> 
> En conclusion : ∀x∈ℝ, f(x) = x² + g(x) = x² + 0 = x².
> 
> La seule fonction vérifiant l'équation fonctionnelle est donc f(x) = x².
> 


J'ai fait pareil sur la 2eme partie après que tu aies donné l'indication 
f(x) = x^2+g(x).
Pour la première partie j'ai cherché tous les polynômes qui marchent et 
on tombe sur x^2.

-- 
F.J.