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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?B?UmU6IHRhdXggZCdpbnTDqXLDqnQ=?=
Date: Tue, 9 Jul 2024 22:21:08 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 109
Message-ID: <v6k63k$1gvle$1@dont-email.me>
References: <v6j596$1buak$1@dont-email.me>
 <v6js5n$2fun$1@cabale.usenet-fr.net> <v6jvke$1fgk4$1@dont-email.me>
 <v6k1jl$2joa$1@cabale.usenet-fr.net>
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Injection-Date: Tue, 09 Jul 2024 22:21:09 +0200 (CEST)
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Content-Language: fr, en-US
In-Reply-To: <v6k1jl$2joa$1@cabale.usenet-fr.net>
Bytes: 4452

Le 09/07/2024 à 21:04, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 09/07/2024 20:30, efji m'a répondu :
>> [...]
>>>
>>> Donc, pour reprendre tes termes :
>>> | La valeur d'un bien = E
>>> | Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
>>> | Je sais combien le remboursement va durer = n
>>>
>>> Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule :
>>>       A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
>>>
>>> On peut la simplifier un peu comme ceci :
>>>      (1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
>>>
>>>
>>> Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
>>> à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
>>> successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
>>> lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.
>>
>> Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
>> trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.
> 
> Je m'en doutais.
> 
>> Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
>> habitudes :)
> 
> :-D
> 
>> Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
>> ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
>> (vous n'êtes pas Hachel).
> 
> La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
> lue sans y trouver d'erreur.
> <https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>
> 
>> Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
>> une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
>>
>> Donc il faut résoudre
>>
>> 1-(1+x)^(-n) = Cx
>>
>> Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)
> 
> Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 % à
> ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.
> 
>> Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x:
>>
>> (1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)
> 
> Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
> (1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

ooch oui, désolé, écrit trop vite :)

Donc:

(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

> 
> J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.
> 
>>
>> où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
>> o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
>>
>> Donc ici, pour a=-n, on obtient
>>
>> 1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

Et ici
1 - (1 - nx + (1/2)n(n+1)x^2 - (1/6)n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

>> soit
>> nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
>> ou encore
>>
>> (n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0

corrigé en

(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0

>>
>> qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
>> vous laisse le faire.
>>
>> Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
>> l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
>>
>> (n-C) - n(n+1)x = 0
en fait (n-C) - n(n+1)x/2
  = 0
>>
>> ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Une petite erreur d'un facteur 2 sur le taux ce n'est pas négligeable 
pour le banquier et le client :)

-- 
F.J.